Генеральные уравнения

где k – число сателлитов, P и Q – произвольные целые числа, - для парных сателлитов, - отношение модулей ступеней, обычно - влияет на уровень нагрузок на подшипники сателлитов.

 

Общее решение уравнений передаточного отношения, условия соосности и сборки дают систему уравнений для определения чисел зубьев. Полученные значения чисел зубьев необходимо проверить на условие соседства. Такие системы уравнений называют генеральными уравнениями. Для самых простых механизмов они приведены в таблице.

Подбор чисел зубьев по методу сомножителей
Рассмотрим один из методов, используемых при подборе чисел зубьев планетарного редуктора, - метод сомножителей. Метод позволяет объединить в расчетные формулы некоторые из условий подбора (условия 1, 2, 5 и 6). Выполнение остальных условий для выбранных чисел зубьев проверяется. Из первого условия выразим внутреннее передаточное отношение механизма. Внутренним называют передаточное отношение механизма при остановленном водиле, то есть механизма с неподвижными осями или рядного механизма.

u₁₄ ^h = (z₂ × z₄)/(z₁ × z₃) =[ u_1h / ( 0.95 ... 1.05 ) - 1] = (B × D)/(A × C).

Разложим внутреннее передаточное отношение u₁₄ ^hна сомножители - некоторые целые числа A, B, C иD.При этом сомножитель Aсоответствует числу зубьев z₁ , B - z₂ , C - z₃ и D - z₄.Сомножители могут быть произвольными целыми числами, комбинация (B × D) / (A × C) которых равна u₁₄ ^h.
Для рассматриваемой схемы желательно придерживаться следующих диапазонов изменения отношений между сомножителями

B / A = z₂ / z₁ = 1 ... 6 -внешнее зацепление,

D / C = z₄ / z₃ = 1.1 ... 8 - внутреннее зацепление.

Включим в рассмотрение условие соосности:
z₁ + z₂ = z₄ - z₃

и выразим его через сомножители
a× ( A + B) = b× ( D - C ).

Если принять, что коэффициенты a и b равны
a = ( D - C ), b = (A + B),

то выражение превращается в тождество.
Из этого тождества можно записать:
z₁= ( D - C ) × A × q, z₃= ( A + B ) × C × q,
z₂= ( D - C ) × B × q, z₄= ( A + B ) × D × q.

где q - произвольный множитель, выбором которого обеспечиваем выполнение условий 5 и 6.

Зубья колес планетарного механизма, рассчитанные по этим формулам, удовлетворяют условиям 1, 2, 5 и 6. Проверяем эти зубья по условиям 3 (соседства) и 4 (сборки) и если они выполняются, считаем этот вариант одним из возможных решений. Если после перебора рассматриваемых сочетаний сомножителей получим несколько возможных решений, то проводим их сравнение по условию 7. Решением задачи будет сочетание чисел зубьев, обеспечивающее габаритный минимальный размер R.

Примеры подбора чисел зубьев для типовых планетарных механизмов

1. Двухрядный планетарный редуктор с одним внешним и с одним внутренним зацеплением.

Дано: Схема планетарного механизма, u_1h = 13, k = 3.
Определить: z_i - ?

Внутреннее передаточное отношение механизма:
u₁₄ ^h = (z₂ × z₄) / (z₁ × z₃) = [ u_1h / ( 0.95 ... 1.05 ) - 1] = 12 = (B × D)/(A × C) = 3 × 4 / (1 × 1) = 2 × 6 / (1 × 1)= 4 × 3 / (1 × 1) = ...

Для первого сочетания сомножителей:
z₁= ( D - C ) × A × q = ( 4 - 1 ) × 1 × q = 3 × q ; z₁= 18 > 17;
z₂= ( D - C ) × B × q = ( 4 - 1 ) × 3 × q = 9 × q ; q = 6; z₂= 54 > 17;
z₃= ( A + B ) × C × q = ( 3 + 1 ) × 1 × q = 4 × q; z₃= 24 > 20;
z₄= ( A + B ) × D × q = ( 3 + 1 ) × 4 × q = 16 × q; z₄= 96 > 85;

Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z_2,3 + 2)/ (z₁ + z₂) ]
sin ( p / 3 ) > (54 + 2)/(18+54)
0.866 > 0.77 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) × ( 1 + k × p) = B;
(13 × 18/3) × ( 1 + 3 р) = В - целое при любом p.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения!
Габаритный размер R = (18 + 2 × 54) = 126.

Для второго сочетания сомножителей:
z₁= ( D - C ) × A × q = ( 6 - 1 ) × 1 × q = 5 × q ; z₁= 45 > 17;
z₂= ( D - C ) × B × q = ( 6 - 1 ) × 2 × q = 10 × q ; q = 9; z₂= 90 > 17;
z₃= ( A + B ) × C × q = ( 2 + 1 ) × 1 × q = 3 × q; z₃= 27 > 20;
z₄= ( A + B ) × D × q = ( 2 + 1 ) × 6 × q = 18 × q; z₄= 162 > 85;

Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z_2,3 + 2)/ (z₁ + z₂) ]
sin ( p / 3 ) > (90 + 2)/(45+90)
0.866 > 0.681 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) × ( 1 + k × р) = B
(12 × 45 / 3) × ( 1 + 3 р) = В - целое при любомр.

Условие сборки тоже выполняется и получен второй вариант решения!
Габаритный размерR = (45 + 2 × 90) = 225.

Для третьего сочетания сомножителей:
z₁= ( D - C ) × A × q = ( 3 - 1 ) × 1 × q = 2 × q ; z₁= 18 > 17;
z₂= ( D - C ) × B × q = ( 3 - 1 ) × 4 × q = 8 × q ; q = 9; z₂= 72 > 17;
z₃= ( A + B ) × C × q = ( 1 + 4 ) × 1 × q = 5 × q; z₃= 45 > 20;
z₄= ( A + B ) × D × q = ( 1 + 4 ) × 3 × q = 15 × q; z₄= 135 > 85;

Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z_2,3 + 2)/ (z₁ + z₂) ]
sin ( p / 3 ) > (70 + 2)/(18+72)
0.866 > 0.8 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) × ( 1 + k × р) = B
(13 × 18/3) × ( 1 + 3 р) = В - целое при любомр.

Условие сборки тоже выполняется и получен третий вариант решения.
Габаритный размерR = (18 + 2 × 72) = 162.

Из рассмотренных трех вариантов габаритный наименьший размер получен в первом. Этот вариант и будет решением нашей задачи.

2.Однорядный механизм с одним внутренним и одним внешним зацеплением.
Дано: схема планетарного механизма, u_1h = 7; k = 3.
Определить: z_i - ?.

Рис. 16.2

 

Для однорядного планетарного механизма задача подбора чисел зубьев решается без применения метода сомножителей. Задаемся для первого колеса числом зубьев больше 17 и кратным u_1h или k.

В нашем примере принимаем:
z₁ = 18 > 17.

Тогда из формулы передаточного отношения можно определить число зубьев третьего колеса:
u_1h = ( 1 + z₃ / z₁ ) × (0.95 ... 1.05)
z₃ = [u_1h / (0.95...1.05) - 1] × z₁
z₃ = [ 7 / (0.95...1.05) - 1] × 18 = 108

Число зубьев второго колеса определим из условия соосности:
z₁ + z₂ = z₃ - z₂
z₂ = ( z₃ - z₁ ) / 2 = ( 108 - 18 ) / 2 = 45

Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z₂ + 2)/ (z₁ + z₂) ]
sin ( p / 3 ) > (45 + 2)/(18+45)
0.866 > 0.73 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) × ( 1 + k × р) = B
(7 × 18/3) × ( 1 + 3 р) = В целое при любомр.

В данном случае нет необходимости сравнивать варианты по габаритам, так как мы приняли минимально допустимую величину z₁
,то получим редуктор с минимальных размеров.

3.Двухрядный механизм с двумя внешними зацеплениями.

Рис. 16.3

Дано: схема планетарного механизма, uh1 = -24; k =3. Определить: zi - ?.

Внутреннее передаточное отношение механизма:
u_1h= 1 / u_h1
u₁₄ ^h = (z₂ × z₄)/(z₁ × z₃) =[ 1 - u_1h / ( 0.95 ... 1.05 ) ] = 25/24 = (B × D)/(A × C) = 5 × 5 / (4 × 6) = 5 × 5 / (6 × 4)= 25 × 1 / (12 × 2) = ...

Условие соосности для этой схемы:
z₁ + z₂ = z₄ + z₃

и выразим его через сомножители:
a× ( A + B) = b× ( D + C ).

Принимаем коэффициенты a и b:
a = ( D + C ), b = (A + B).

и получаемдля сочетания сомножителей обведенного рамкой:
z₁= ( D + C ) × A × q = ( 1 + 2 ) × 12 × q = 36 × q ; z₁= 36 > 17;
z₂= ( D + C ) × B × q = ( 1 + 2 ) × 25 × q = 75 × q ; q = 1; z₂= 75 > 17;
z₃= ( A + B ) × C × q = ( 12 + 25 ) × 2 × q = 74 × q; z₃= 74 > 17;
z₄= ( A + B ) × D × q = ( 12 + 25 ) × 1 × q = 37 × q; z₄= 37 > 17;

Проверка условия соседства:
sin ( p / k ) > max [( z_2,3 + 2)/ (z₁ + z₂) ];
sin ( p / 3 ) > (75 + 2)/(36+75)
0.866 > 0.694 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) ? ( 1 + k × р) = B;
[18 / (-24× 3)] ×( 1 + 3 р) = В - целое прир=1.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.
Габаритный размерR = (36 + 2 × 75) = 186.

Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты.

4.Двухрядный механизм с двумя внутренними зацеплениями.

Рис. 16.4

Дано: схема планетарного механизма, u1h = 55; k = 2. Определить: zi - ?.

Внутреннее передаточное отношение механизма:
u_1h= 1 / u_h1;
u₁₄ ^h = (z₂ × z₄)/(z₁ × z₃) =[ 1 - u_1h / ( 0.95 ... 1.05 ) ] = 54 / 55 = (B × D)/(A × C) = 6 × 9 / (11 × 5) = 18 × 3 / (55 × 1) = ...

Условие соосности для этой схемы:
z₁ - z₂ = z₄ - z₃

и выразим его через сомножители:
a× ( A - B) = b× ( D - C )

Принимаем коэффициенты a и b:
a = ( D - C ), b = (A - B)

и получаемдля сочетания сомножителей обведенного рамкой:
z₁= ( D - C ) × A × q = ( 3 - 1 ) × 55 × q = 110 ×q ; z₁= 110 > 85;
z₂= ( D - C ) × B × q = ( 3 - 1 ) × 18 × q = 36 × q ; q = 1; z₂= 36 > 20;
z₃= ( A - B ) × C × q = ( 55 - 18 ) × 1 × q = 37 × q; z₃= 37 > 20;
z₄= ( A - B ) × D × q = ( 55 - 18 ) × 3 × q = 111 × q; z₄= 111 > 85;

Проверка условия соседства:
sin ( p /k ) > max [( z_2,3 + 2)/ (z₁ + z₂) ]
sin ( p /2 ) > (37 + 2)/(110 - 36)
1.0 > 0.527 - условие выполняется.

Проверка условия сборки:
( u_1h × z₁ / k ) × ( 1 + k × р) = B;
[110 / (55 × 2)] × ( 1 + 3 р) = В - целое при любомр.

Условие сборки тоже выполняется. То есть, получен первый вариант решения.
Габаритный размерR = (1.2 × 111 ) = 133.2, при k_K = 1.2.

Аналогичным образом рассматриваются другие сочетания сомножителей и из вариантов, удовлетворяющих первым шести условиям, выбирается тот, который обеспечивает наименьшие габариты.

Оптимальный синтез планетарных механизмов при автоматизированном проектировании

При автоматизированном проектировании с помощью компьютера можно за относительно небольшой промежуток времени получить большое количество возможных решений задачи. Сопоставляя эти решения между собой находят то, которое удовлетворяет всем требованиям наилучшим образом. При этом перебор вариантов осуществляется в пределах заданных ограничений на параметры (в данном случае на числа зубьев колес) по какой-либо стратегии или чаще случайным образом. Программы оптимального синтеза могут использовать рассмотренные выше методы (например, метод сомножителей), а могут просто перебирать допустимые сочетания параметров и проверять их на соответствие заданным условиям. Использование компьютерных программ для синтеза планетарных механизмов позволяет существенно сократить время проектирования и существенно улучшить качественные показатели спроектированных механизмов.