Базис системы векторов

Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.

Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:

1) базис любой системы векторов пространства R_n всегда содержит не более чем n векторов;

2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;

3) любой базис пространства R_n содержит n векторов;

4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства R_n.

Примером базиса пространства R_n могут служить векторы

a₁=(a₁₁,0,...,0),

a₂=(0,a₂₂,...,0),

.....................

a_n=(0,0,...,a_nn) ,

где a_ij¹0.

Для нахождения базиса системы векторов удобно использовать полученные ранее результаты:

составляем из координатных строк данных векторов матрицу (не нарушая общности доказательства, можем считать, что координатные строки векторов являются строками матрицы); приводим матрицу к диагональному виду и вычисляем ее ранг. Ранг матрицы равен числу векторов базиса. Если в ходе преобразований матрицы не менять местами строки и не производить действий над столбцами, тогда те векторы, в координатных строках которых после приведения матрицы к диагональному виду остались ненулевые элементы, и составляют один из базисов системы векторов-строк.

Пример. Найти базис системы векторов

a₁=(-1,3,3,2,5)

a₂=(-3,5,2,3,4)

a₃=(-3,1,-5,0,-7)

a₄=(-5,7,1,4,1).

Составляем из векторов-строк матрицу А и приводим ее к диагональному виду

,

rang A=3, базис образуют векторы a₁, a₂, a₄.