Следствия аксиом линейного пространства

 

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.

 

2. В линейном пространстве для любого вектора существует единственный противоположный вектор .

 

3. Произведение произвольного вектора пространства на число нуль равно нулевому вектору, т.е. .

 

4. Произведение нулевого вектора на любое число равно нулевому вектору, т.е для любого числа .

 

5. Вектор, противоположный данному вектору, равен произведению данного вектора на число (-1), т.е. .

 

6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.

 

Докажем, например, первые два свойства. Единственность нулевого вектора. Если и — два нулевых вектора, то по аксиоме 3 получаем два равенства: или , левые части которых равны по аксиоме 1. Следовательно, равны и правые части, т.е. . Единственность противоположного вектора. Если вектор имеет два противоположных вектора и , то по аксиомам 2, 3,4 получаем их равенство:

 

Остальные свойства доказываются аналогично.