Формализация неформализуемых понятий

Даже в математике достаточно сложные понятия невозможно формализовать. Тем не менее мы вовсю пользуемся их формализациями. Более того, компьютеризация всех сфер человеческой деятельности приводит к (слишком часто неосознанной) формализации и тех понятий, которые всегда трактовались как неформальные. Ведь Дж. Вейценбаум — один из ярчайших (но отнюдь не самых преуспевших) представителей направления, известного под названием ‘искусственный интеллект’. В середине 60-х годов он создал программу ELIZA (названную по имени героини пьесы Б. Шоу «Пигмалион»), которая имитировала диалог между психоаналитиком и пациентом. Она не пыталась понять человеческий язык (что было в принципе невозможно на том уровне развития компьютеров и информатики), а просто на основе формальных знаний о синтаксисе фраз возвращала человеку его собственные утверждения в виде вопросов. Любая компьютерная программа заодно является формализацией понятий, с которыми она работает.

И, наконец, компьютеры заставили людей работать со сложными формализациями, причем они, как идеальные бюрократы, строго следуют букве этих формализаций. И тут выявилось, что даже сложные формальные понятия человек склонен понимать как неформальные. Более того, такую особенность человека нельзя высокомерно игнорировать как недоразвитость. Только на этой основе можно дать понятие ошибки в языке программирования.

Поэтому дальше нельзя игнорировать вопрос о том, что же такое формализация неформализуемого, как с ней работать и как не попасться в ловушки, явно имеющиеся в понятии, с самого начала содержащем внутреннее противоречие.

Пожалуй, первым открыто заговорил о формализации неформализуемых понятий новосибирский логик Н. В. Белякин. Он воспользовался ситуацией, возникшей вокруг теоремы Гёделя о неполноте, для представления гуманитарных понятий. Основная идея Белякина следующая.Гуманитарное понятие (например, любовь, дружба, честь) разъясняется на прецедентах и получает неявное алгоритмическое определение. Но деятели культуры специализируются на том, что каждый раз, когда такое определение становится почти фиксированным и общепринятым (когда возникает формализация), придумывают прецеденты, не подходящие под данное определение. С алгоритмической точки зрения это можно уточнить следующим образом. В каждый данный момент формализация представляет из себя разрешимое подмножество некоторого идеального образа понятия, не являющегося даже перечислимым множеством. Каждая формализация алгоритмически порождает прецедент, входящий в идеальное множество, но не подходящий под нее саму. Более того, таким свойством обладает и каждая вычислимая последовательность формализаций. Значит, хотя в некотором смысле формализации неформализуемого понятия по Белякину и стремятся к идеальному пределу, но любой реальный предел сам себя помогает опровергнуть (точно так же, как любая непротиворечивая теория сама помогает построить пример неразрешимого в ней истинного утверждения).

Строго определить систему формализаций неформализуемых понятий можно, базируясь на теореме Гёделя о неполноте и результатах теории алгоритмов и теории доказательств. В самом деле, поскольку понятия неформализуемы, они должны иметь не просто расходящиеся, а прямо противоречащие друг другу формализации. Далее, поскольку содержательные понятия тесно взаимосвязаны друг с другом, есть смысл рассматривать их совместную формализацию. И наконец, подмеченный Н. В. Белякиным эффект диагонализации должен, конечно же, иметь место. Таким образом, приходим к следующим принципам, которые естественно принять как постулаты теории неформализуемых понятий.

Принцип 1. Понятия могут описываться лишь в их взаимо связи. Совокупность взаимосвязанных понятий может быть описана как сигнатура сигма (называемой в гуманитарных исследованиях тезаурус).

Скажем, понятия любви и ревности тесно взаимосвязаны и принадлежат одному и тому же тезаурусу.

Принцип 2. Объем понятия является производным от его содержания и взаимосвязей с другими понятиями.

Принцип 3. Для гуманитарных понятий и их объемы, и их взаимосвязи все время меняются, их нельзя однозначно зафиксировать.

Принцип 4. Имеется оператор диагонализации, выдающий по любой эффективно заданной последовательности уточнений рассматриваемых понятий новое уточнение, не совпадающее ни с одним из членов последовательности.

Принцип 5. Имеется оператор альтернативы, выдающий по каждой паре уточнений , где расширяет , новое уточнение , расширяющее , но несовместимое с .

Принцип 6. Имеются абсолютно общепризнанные соотношения между понятиями (трюизмы), но они — самые бесполезные из всех соотношений.

В самом деле, трюизмом является, скажем, описание ревности как отрицательного чувства к объекту действительного или предполагаемого увлечения любимого (любимой). Из этого определения, вполне почтенного для какого-либо научного трактата, никаких позитивных выводов не сделаешь. Зато принципы (принадлежащие противоположным культурам любовных отношений):

Если ты — джигит, зарежь подонка, посягающего на твою любимую!

Если ты — светский человек, не дай чувству ревности проявиться наружу!

позитивны, дают конкретную стратегию поведения в соответствующей ситуации, но полностью несовместимы друг с другом.

Теперь надо строить математическую модель. Следующие принципы говорят уже о формализации только что перечисленных содержательных положений на базе теоремы Гёделя о неполноте и ее обобщений.

Принцип 7. В каждый данный момент для данной конкретной цели взаимоотношения понятий описываются как классическая теория . Эта теория называется ипостасью системы неформализуемых понятий.

Заметим, что здесь сделано сильное предположение о том, что каждая ипостась описывается теорией, применяющей классическую логику. Это предположение нуждается в проверке, и проверка была произведена в первой же работе, описывавшей теорию неформализуемых понятий.

В ней было показано, что при естественных предположениях (а именно, принцип 10) уже для неклассической арифметики не удается построить нетривиальной системы расширений, описывающей арифметические понятия как неформализуемые. Таким образом, теория неформализуемых понятий еще ярче подчеркивает исключительную роль классической логики в системе известных логик.

Принцип 8. Среди этих теорий есть теория , являющаяся подтеорией любой .

Принцип 9. Имеется вычислимая функция , строящая по каждой паре теорий , теорию , расширяющую , но несовместимую с .

Таким образом, каждое расширение теории имеет альтернативу.

Следующий принцип также является сильным предположением, показавшим свою эффективность при описании систем неформализуемых понятий. Он говорит о том, что никакой из новых результатов, полученных в расширениях данной ипостаси, не может считаться даже относительно бесспорным (неопровержимым в других расширениях).

Принцип 10. Пересечением множества теорем всех теорий, расширяющих , являются теоремы самой .

Этот принцип сразу же отметает в качестве основы для систем неформализуемых понятий теории, базирующиеся на многих известных неклассических логиках.

Теория неформализуемых понятий позволила дать подходы к решению некоторых задач, связанных с несоответствием понятий в языках программирования. Появились и логические следствия. Одно из них мы приведем здесь.

Высказывание A называется псевдопроблемой относительно ипостаси , входящей в систему формализаций неформализуемых понятий, если ни в какой ипостаси,являющейся расширением , ни A, ни A не являются теоремами.

Предложение. Метод критики оснований. Если A — псевдопроблема, B не является псевдопроблемой, B неразрешимо в и в теории доказано A = > B, то можно подобрать формулу D, не являющуюся псевдопроблемой, такую, что D = > A и A = > D — не теоремы , а D = > B — ее теорема.

Доказательство. Пусть для определенности B доказывается в некоторых формализациях. Тогда имеется теория , расширяющая , в которой доказывается B. Но тогда есть конечный список D₁ аксиом , из которого выводится в . Значит, D1 = > B является теоремой . Поскольку имеет альтернативу , усилим D1 до списка аксиом D, опровергаемого в данной альтернативе. Поскольку A — псевдопроблема, то ни она, ни ее отрицание не выводимы ни в , ни в . Отсюда получаем, что четыре импликации

невыводимы в и, соответственно, D — искомое независимое от A основание.

Содержательно данный результат означает, что основание, являющееся псевдопроблемой, ничего не может дать для доказательства содержательных утверждений. Если мы вывели имеющее смысл в данной системе теорий утверждение из псевдопроблемы, то можно подобрать другую, уже нетривиальную гипотезу, из которой оно получается.

Понятие псевдопроблемы появилось в работах Венской школы позитивизма в 20-х годах. Псевдопроблемами называли пышно звучащие философские вопросы типа «Что первично: материя или сознание?», теряющие смысл при переводе на научный язык. Мы идем дальше, считая, что псевдопроблемы могут проникнуть даже внутрь формализаций, но опора на них является порочным методом. С другой стороны, данный результат имеет отношение к давно известному в логике примеру логической ошибки.В жизни слишком часто мы считаем, что отвергли выводы человека, если сумели опровергнуть посылки, на которых он базируется. Например, отвергнув посылку об изначальном равенстве способностей всех людей, мы отвергаем целесообразность равенства их прав. Это еще со времен Аристотеля квалифицировалось как логическая ошибка:единственный способ опровергнуть предложение — временно принять его. Критика оснований может лишь показать, что декларированное утверждение не обосновано. Мы показали, что в реальной ситуации критика оснований может быть еще более сильным аргументом, если мы обнаруживаем в основаниях не ложное утверждение, а псевдопроблему.Допустим, опора на существование Бога в научном исследовании полностью уничтожает силу приводимых аргументов. На любое утверждение нужно опираться в своем месте и по соответствующему поводу. Религии и так нанесли слишком большой ущерб излишне благонамеренные ученые, очень хотевшие научно доказать существование Бога и делавшие при этом легко обнаруживаемые ошибки.

Системы формализаций неформализуемых понятий позволяют выразить и еще одну важнейшую сторону знания, впервые затронутую в неклассических логиках. Поскольку незнание всеобъемлюще и неистребимо, порою один из самых мощных видов знания — знание о незнании. Конкретные классические теории не позволяют этого использовать, а вот в их системах постулирование и использование незнания вполне возможно.

И наконец, можно заметить, что соотношения между неформализуемыми понятиями, выраженные в данной теории, относятся лишь к данным их ипостасям. Чтобы выразить более глобальные утверждения (например, что A содержательно следует из B в том смысле, что приняв при формализации A, мы вынуждены принимать и B во избежание распада системы понятий), необходимо рассматривать целые системы теорий, а тут уже вступает в права неклассическая логика.

Итак:

· Истинность формул данного языка нельзя выразить внутри него самого.

· Не все вычислимые функции могут быть продолжены до всюду определенных.

· Ни одна достаточно богатая теория не может быть полна.

· Неполнота не может быть устранена никакими средствами, допускающими хотя бы частичную алгоритмическую проверку.

· Неразрешимые утверждения бывают разных типов, в том числе и такие, которые не зависят не только от теории, но и друг от друга.

· Пополнение теории правилом, позволяющим переходить от доказуемости A(n) при произвольном n к истинности x A(x) весьма сильно расширяет возможности теории.

· Даже внутри самой теории имеются предложения вида x P(x) с разрешимым P, для доказательства которых необходимо привлекать сколь угодно сложные формулы.

· Можно заниматься формализацией и неформализуемых понятий, и в этом случае классическая логика — первый кандидат на звание подходящей для теорий, описывающих состояние понятий в данный момент, для данной цели и с данной точки зрения.

· Классическая логика перестает работать, если мы интересуемся не истинностью в случае неизменной фиксированной точки зрения, а развитием понятий. Она может подвести нас и тогда, когда мы стремимся использовать доказанные утверждения вида  x A(x) как основу для алгоритмических построений.

· Классическая логика практически бессильна, когда нужно формализовывать незнание.

· Выражаясь несколько метафорически, классическая логика — логика конкретного знания и веры, а неклассическая — логика построения, изменения знания и сомнения.