Целые двоичные числа с произвольным знаком

Отрицательное число характеризуется тем, что перед старшим разрядом ставится бит знака s.

5.7.1. Представление с поразрядным дополнением до двух

Представление с помощью знака и модуля затрудняет сложение положительных и отрицательных чисел. При появлении знака «минус» сумматор должен переключаться в режим вычитания. Представление с поразрядным дополнением до двух (обычно кратко называемое дополнительным кодом) избавляет от этой необходимости.

При таком способе старшему разряду присваивается отрицательный вес, а остальная часть числа отображается в обычном двоичном виде. В описанном случае длина слова также должна быть фиксированной ради однозначности определения старшего разряда. Если число положительное, старший бит равен 0. У отрицательного числа старший бит равен 1, поскольку только данный разряд имеет отрицательный вес.

Пример.

Для слова длинной 8 бит:

Переход от положительного числа к отрицательному, равному ему по модулю, несколько затруднен по сравнению с представлением через знак и модуль. Пусть двоичное число B_N без знакового бита характеризуется словом длиной N. Тогда знаковый разряд имеет значение –2^N. Поэтому число –B_N принимает вид

–B_N = –2^N + X.

Тогда положительный остаток X составит:

X = 2^N – B_N.

Это выражение называется поразрядным дополнением до двух (дополнительным кодом) B_N⁽²⁾ для B_N и легко рассчитывается по B^N. Рассмотрим наибольшее число, представимое с помощью N двоичных разрядов. Его значение равно

Если из указанного числа вычесть произвольное двоичное число B_N, получим, очевидно, двоичное число как результат поразрядного вычитания, называемое поразрядным дополнением до единицы (обратным кодом) B_N⁽¹⁾ для B_N. Тогда

и B_N⁽²⁾ = B_N⁽¹⁾ +1.

Таким образом, поразрядное дополнение двоичного числа до двух (дополнительный код) получается путем дополнения до единицы во всех разрядах и добавления единицы к образовавшемуся числу.

Легко показать, что для смены знака нужно не манипулировать знаковым разрядом в отдельности, а просто сформировать дополнение до двух целого числа вместе со знаковым разрядом. Следовательно, для двоичных чисел в дополнительном коде имеет место соотношение

-B_N = B_N⁽²⁾.

Оно справедливо для случая, когда в полученном результате рассматриваются

только N разрядов, а разряды переполнения игнорируются.

Пример.

Для 8-­разрядного двоичного числа в дополнительном коде:

 

5.7.2. Расширение знакового разряда

Если требуется представить положительное число в виде слова с большим числом

разрядов, старшие разряды просто заполняют нулями. Для чисел в дополнительном коде действует иное правило: слово дополняется соответствующим количеством знаковых разрядов.

Пример.