Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

 

Альтернативой нахождению некоторой аппроксимирующей функции, которая характеризует ряд целиком, служит метод скользящих средних. В основе этого метода лежит идея о том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения (если дисперсия уровня ряда около среднего (сглаженного) значения a характеризуется величиной s², то разброс среднего из N уровней ряда около того же значения a будет характеризоваться меньшей величиной дисперсии s²/N, что и означает сглаживание уровней ряда). Первоначальные уровни временного ряда заменяются средними величинами, вычисленными для определенного числа уровней ряда. Полученное значение относится к середине выбранного интервала. Затем интервал сдвигается на одно наблюдение и расчет средней повторяется и т.д. Интервал, на котором вычисляются средние, как бы скользит по ряду.

Сглаживание временного ряда означает представление тренда в данной точке посредством взвешенного среднего значений, наблюдаемых в окрестностях этой точки (активный участок сглаживания). Оно определяется для каждого момента времени, за исключением нескольких первых и нескольких последних точек.

Длину интервала сглаживания 2m+1 удобно брать нечетной, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на середину интервала.

Сглаженное значение временного ряда y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n в точке t вычисляется по значениям y_t-m, y_t-m+1, ..., y_t, y_t+1, ..., y_t+m по формуле

, t=m+1, ..., n−m, (9.29)

задающей взвешенное среднее наблюдаемых значений y_t в интервале значений t, отстоящих не более чем на m единиц. Полученная таким образом по (9.29) последовательность называется скользящим средним исходной последовательности y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n.

Определение параметров w_s основано на следующей процедуре. Согласно известной теореме Вейерштрасса любая гладкая функция f_t при самых общих допущениях может быть локально (т.е. в ограниченном интервале изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени p. Таким образом, веса w_s определяются по 2m+1 членам ряда в результате построения МНК полинома степени p, аппроксимирующего поведение временного ряда. Значение этого полинома в центральной точке (s=0) дает оценку сглаженного значения .

Продемонстрируем процедуру нахождения весов скользящих средних на примере. Пусть необходимо построить наилучшее приближение по пяти точкам (m=2) и нас устраивает локальная аппроксимация квадратичным полиномом =a₀+a₁t+a₂t² (p=2). Определим веса скользящих средних. Составим систему нормальных уравнений МНК:

После дифференцирования

или после суммирования

Для t=0 получаем =a₀ и поэтому, выражая из последней системы a₀, имеем:

= (−3y_t-2+12y_t-1+17y₀+12y_t+1−3y_t+2)/35,

то есть веса w_s будут равны: , что символически записывается в виде .

Весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания и порядка полинома представлены в табл. 9.17.

Таблица 9.17

Таблица Каудена для весовых коэффициентов скользящих средних

 

Длина интервала сглаживания (2m+1)	Степени полинома
p=2, p=3	p=4, p=5
		−

 

Свойства коэффициентов скользящих средних таковы:

− сумма весов равна единице .

− веса симметричны относительно серединного значения w₀, т.е. w_-s= w_s, s=1,2,…,m. В табл. 9.17 значения w₀ даны как последние числа в квадратных скобках.

− при одной и той же длине временного интервала веса для полиномов четной степени будут такими же, как и для полиномов степени на единицу большей.

В случае использования полинома первого порядка значение получается как среднее арифметическое из уровней ряда на активном участке сглаживания.

Метод скользящих средних не дает значений тренда для m первых и m последних членов ряда. Особенно неприятно отсутствие значений тренда в конце траектории динамики, поскольку мы хотим экстраполировать ряд. Несмотря на то, что значения тренда в конце не столь устойчивы, как в середине, можно использовать для сглаживания последних m значений ряда полином того же порядка, что и для остальных членов ряда, и получить выражения для весов. Для рассматриваемого выше примера из системы нормальных уравнений получим:

a₁= =(−2y_t−2−y_t−1+y_t+1+2y_t+2)/10,

a₂= =(2y_t−2−y_t−1−2y₀−y_t+1+2y_t+2)/14,

затем подставим в уравнение для сглаживающего полинома:

=(−3y_t−2+12y_t−1+17y₀+12y_t+1−3y_t+2)/35+t(−2y_t−2−y_t−1+y_t+1+2y_t+2)/10+

+t²(2y_t−2−y_t−1−2y₀−y_t+1+2y_t+2)/14,

откуда при t=1, 2 имеем веса скользящих средних для вычисления последнего и предпоследнего значений тренда по пяти (последним) точкам ряда:

и .

Для выбора конкретных значений длины интервала m и степени полинома p, к сожалению, нет никаких критериев − это зависит от модели представления ряда и цели выделения тренда. При малом числе наблюдений метод скользящих средних часто приводит к искажению тенденции и его надо использовать с осторожностью.

Специфика конкретной задачи может потребовать использования в качестве активного участка четное количество уровней ряда. Например, при анализе среднесуточных колебаний (24 часа), среднемесячных недельных данных (4 недели) и т.п. В этом случае сглаженное значение вычисляется в средней точке скользящего интервала усреднения и попадает посередине между исходными точками наблюдения. Чтобы получить сглаженное значение в точке наблюдения необходимо вычислить значения для двух окаймляющих эту точку промежуточных моментов времени и взять их среднее арифметическое.

После применения скользящих средних ряд сглаженных значений будет более гладким, чем исходный y_t (дисперсия ряда будет меньше дисперсии ряда y_t), однако в нем могут появиться систематические колебания, обусловленные автокоррелированностью его последовательных значений в силу усреднения случайных составляющих. Этот вывод называется эффектом Слуцкого-Юла.