ДУ высших порядков. Задача Коши, формулировка теоремы существования и единственности ее решения. ДУ, допускающее понижение порядка
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F (x; y; y’; y”) = 0 или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: y” = f (x; y; y’).
Решением последнего ДУ называется всякая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ называется функция y = φ (x; c1; c2), где c1 и c2 – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1. φ (x; c1; c2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c1 и c2 .
2. Каковы бы ни были начальные условия y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0, существуют единственные значения постоянных c1 = c10 и c2 = c20 такие, что функция y = φ (x; c10; c20) является решением уравнения y” = f (x; y; y’) и удовлетворяет начальным условиям.
Всякое решение y = φ (x; c10; c20) уравнения y” = f (x; y; y’), получающееся из общего решения y = φ (x; c1; c2) при конкретных значениям постоянных c1 = c10, c2 = c20, называется частным решением.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ y” = f (x; y; y’), удовлетворяющего заданным начальным условиям y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0, называется задачей Коши.
Теорема существования и единственности задачи Коши: если в уравнении y” = f (x; y; y’) функция f (x; y; y’) и ее частные производные f ’y и f ‘y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и y’, то для всякой точки (x0; y0; y’0) Э D существует единственное решение y = φ (x) уравнения y” = f (x; y; y’), удовлетворяющее начальным условиям y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0 .
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
3 типа уравнений, допускающих понижение порядка:
1) y” = f (x);
2) y” = f (x; y’), не содержащее явно искомой функции y.
Частный случай: y” = f (y’), не содержащее также и независимую переменную x.
3) y” = f (y; y’), которое не содержит явно независимой переменной x.
Частный случай: y” = f (y).