Лекция № 3

 

1. Внешние силы (нагрузки), действующие на конструкцию.

2. Деформации и перемещения.

3. Метод сечений. Внутренние силовые факторы.

4. Напряжения.

 

Внешние силы (нагрузки), действующие на конструкцию

 

Нагрузки, действующие на сооружения и их элементы, представляют собой силы или пары сил (моменты), которые могут рассматриваться как сосредоточенные или распределенные.

Расчетная схема

В природе сосредоточенных сил не бывает. Все реальные силы – это силы, распределенные по некоторой площади или объему.

Например, давление колеса на рельс практически передается через небольшую площадку, которая получается в результате деформации рельса и колеса. Поэтому, для определения внутренних сил, возникающих в рельсе и колесе на некотором расстоянии от площади передачи давления, можно распределенную нагрузку заменить сосредоточенной равнодействующей силой. Это упростит расчет.

Сосредоточенные нагрузки выражаются в Н, кН, МН (ньютонах, килоньютонах, меганьютонах).

Распределенные нагрузки могут быть поверхностными (например, давление воды или ветра на стенку) или объемными (например, сила инерции, сила тяжести тела).

Выражаются распределенные нагрузки в отношении единицы силы к единице длины (кН/м).

И сосредоточенные и распределенные нагрузки могут быть как статическими, так и динамическими.

Статическими называются нагрузки, которые будучи приложены к элементу возрастают постепенно от нуля до своей конечной величины так, что их действие не вызывает ускорений в элементах конструкций. (Собственный вес моста).

Динамическими называются нагрузки, изменяющиеся во времени с большой скоростью. (Ударные, переменные и др.). Действие таких нагрузок сопровождается возникновением колебаний сооружений.

Законы изменения нагрузок во времени могут иметь весьма сложный характер.

В частном случае, изменение нагрузки F может носить периодически повторяющийся характер, так что через одни и те же промежутки времени t максимальные значения нагрузки будут повторяться.

Нагрузки такого типа называются нагрузками с установившимся режимом или

повторно-периодическими.

Но во многих случаях изменение нагрузки во времени не имеет установившегося характера. Это нагрузки, действующие на детали автомобилей, станков, тракторов. Также нагрузки, действующие на сооружения (дома, мачты и т.п.) от давления ветра, снега. Такие нагрузки называют повторными нагрузками неустановившихся режимов.

Глубокое изучение таких нагрузок возможно лишь с помощью методов статики и теории вероятности, которые применяются для изучения случайных величин.

 

Деформации и перемещения

 

Как было отмечено, все тела под действием приложенных к ним внешних сил в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свои формы или размеры, либо то и другое одновременно.

Изменение линейных размеров тела или его частей называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией.

При этом увеличение размеров тела называется удлинением, а уменьшение размеров – укорочением.

Если деформация изменяется по объему тела, то говорят о деформации в данной точке тела, в определенном направлении.

Если на поверхности тела вблизи исследуемой точки нанести весьма малый прямоугольник 1234, то в результате деформации этот прямоугольник в общем случае примет вид параллелограмма 1’2’3’4’.

Длины сторон прямоугольника изменятся (увеличатся или уменьшатся), а стороны повернутся по отношению к первоначальному положению.

Если, например, длина стороны 23 изменится на величину , то отношение называется средней линейной деформацией (в данном случае средним удлинением в точке 2).

При уменьшении отрезка S в пределе получим:

Где величина называется истинной линейной деформацией (в точке 2 в направлении 23).

Изменение первоначального прямого угла между сторонами рассматриваемого прямоугольника будет характеризовать угловую деформацию (или угол сдвига) в данной точке.

Опыты показывают, что деформации, как линейные, так и угловые могут после снятия нагрузки или полностью исчезнуть, или исчезнуть лишь частично (в зависимости от материала и величины нагружения).

Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называются упругими, а свойство тел принимать свою первоначальную форму после разгрузки – упругостью.

Деформации, сохраняемые телом и после удаления нагрузки, называются остаточными или пластическими, а свойство материалов давать остаточные деформации называется пластичностью.

Для нормальной эксплуатации сооружения принимаются условия жесткости:

1. Деформации отдельных элементов должны быть, как правило, упругими

2. Вызванные ими перемещения не должны превосходить по величине определенных допускаемых значений.

 

Понятие о внутренних силах (метод сечений).

Внутренние силовые факторы.

 

Под действием внешних нагрузок в поперечных сечениях элементов конструкций и деталей машин возникают внутренние силы упругости, характеризующие связи между молекулами и его отдельными частицами.

Возникновение внутренних сил сопровождается деформацией материала.

Эти силы противодействуют внешним силам и стремятся восстановить прежнюю форму тела.

Одна из задач сопротивления материалов состоит в определении величин внутренних сил.

Для этого широко используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем:

1. В рассматриваемом месте элемент сооружения или деталь условно рассекается на две части.

2. Одна из частей условно отбрасывается.

3. Оставшаяся часть уравновешивается внутренними силами упругости.

 

Если внешние силы лежат в одной плоскости, то для их уравновешивания необходимо в общем случае приложить в сечении три внутренних усилия:

- силу N, направленную вдоль оси стержня и называемую продольной силой;

- силу Q, действующую в плоскости поперечного сечения и называемую поперечной силой;

- внутренний момент М, плоскость действия которого перпендикулярна плоскости сечения. Этот момент возникает при изгибе стержня и называется внутренним изгибающим моментом.

После этого составляют уравнения равновесия для отсеченной части тела, из которых и определяют N, Q, M.

Если же внешние силы, к которым относятся также реакции опор, не лежат в одной плоскости (пространственная задача), то в поперечном сечении в общем случае могут возникнуть 6 внутренних усилий, которые являются компонентами главного вектора силы и главного момента системы внутренних сил

Для определения этих шести усилий необходимо использовать шесть уравнений равновесия:

и

где - крутящий момент.

На рисунке принята правовинтовая система координат, причем ось z совмещена с осью стержня.

В частном случае в поперечном сечении стержня могут возникать:

1. Только продольная сила N. Этот случай нагружения называется растяжением (если сила N направлена от сечения) или сжатием (если сила N направлена к сечению).

2. Только поперечная сила или . Это случай сдвига, среза, смятия, изгиба.

3. Только крутящий момент Т. Это случай кручения.

4. Только изгибающий момент или . Это случай изгиба.

5. Несколько усилий, например, изгибающий и крутящий моменты. Это случаи

сложных видов деформаций (или сложного сопротивления).

Если число неизвестных усилий равно числу уравнений равновесия, то задача называется статически определимой.

Если же число неизвестных усилий больше числа уравнений равновесия –

статически неопределимой.

 

 

Пример метода сечений

 

Определить усилия в стержнях АВ и ВС системы, изображенной на рисунке В т. В – система сходящих сил

Решение

 

Для определения усилий в стержнях АВ и ВС применим метод сечений.

Проведем сечение а-а по стержням, отбросив левую часть, и рассмотрим равновесие правой части.

Усилие в обоих стержнях предположим растягивающими, направленными от узла и обозначим их и .

Составим уравнения равновесия отсеченной части системы:

и

Напряжения

 

Было отмечено, что в поперечном сечении стержня действуют не сосредоточенные внутренние усилия N, Q, T и т.д., а непрерывно распределенные силы, интенсивность которых может быть различной в разных точках сечения и в разном направлении.

Как же измерить интенсивность внутренних сил в данной точке данного сечения, например в т. А?

Выделим вокруг точки А малую площадку .

Пусть - равнодействующая внутренних сил, действующих на эту площадку.

Тогда, среднее значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади рассматриваемой площадки, будет равно

 

 

Эта величина называется средним напряжением. Она характеризует среднюю интенсивность внутренних сил.

Уменьшая размеры площади в сечении, получим:

 

 

Эта величина называется напряжением в данной точке данного сечения.

Напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади в данной точке данного сечения. Измеряется в .

 

Полное напряжение можно разложить на две составляющие:

1. Составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая обозначается и называется нормальным напряжением.

2. Составляющую, нормальную в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается и называется касательным напряжением.

Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может

иметь любое направление в плоскости сечения.

Для удобства касательное напряжение представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей.

Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным.

Обозначение касательных напряжений снабжены двумя индексами:

- первый из них указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения;

- второй – какой оси параллельно само напряжение.

Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл: нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться.

- возникает при растяжении, сжатии, изгибе и сложном напряженном состоянии.

Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости рассматриваемого сечения.

- возникает при кручении, срезе, сдвиге и изгибе.

Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела, называется напряженным состоянием в данной точке.

Если по граням кубика действуют только одни нормальные напряжения, то они называются главными, а площадки, на которых они действуют, называются главными площадками.

Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существуют три главные взаимно-перпендикулярные площадки.

Различные виды напряженного состояния классифицируются в зависимости от числа возникающих главных напряжений.

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным.

Если равно нулю одно из главных напряжений, то напряженное состояние называется двухосным или плоским.

Если равны нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным.

Зная напряженное состояние в любой точке детали, можно оценить прочность этой детали.

В простейших случаях оценка прочности элементов конструкции производится или по наибольшему нормальному напряжению или по наибольшему касательному напряжению.

Так, что условие прочности записывается в виде:

или

где , - допускаемые напряжения, которые зависят от материала и условий работы рассматриваемого элемента.

Эти величины выбираются с таким расчетом, чтобы была обеспечена нормальная эксплуатация конструкция.

В более сложных случаях оценка прочности производится по приведенному напряжению в соответствии с той или иной гипотезой прочности.