Примеры решения задач.
1. Вычислить: .
Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.
Будем выполнять вычисления по действиям:
1). .
2).
3). .
4). .
Таким образом, = .
2. Упростить выражение: , при , и .
Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:
,
поскольку , то ; по условию.
Следовательно, дробь положительна, т.е. , а значит, и .
Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:
Подставляя значение , получим
По условию , значит, , поэтому
Рассмотрим оба возможных случая:
1) если , т.е. если , то и
2) если , т.е. если , то и
3. Сократить дробь: .
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя: , поэтому, имеем: .
Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:
= .
Тогда при , будем иметь:
= .
4. Пользуясь теоремой Виета, вычислить: , где и - корни уравнения .
Решение. Преобразуем исходное выражение в дробь . Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: . Проведем тождественные преобразования:
Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена больше нуля.
Действительно: . Следовательно, у уравнения имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.
Таким образом, , и . Поэтому, имеем:
.