Числовые ряды

Ряд – это выражение вида

a₁ + a₂ + a₃ + … +a_n + …, (1)

составленное из бесконечного множества чисел a₁, a₂, … , a_n, … , называемых членами ряда: a₁ - первый член, a₂ - второй член и т.д.; a_n называют n-ым или общим членом ряда. Ряд (1) можно сокращенно записать как . Конечные суммы вида

S₁=a₁,

S₂=a₁ + a₂,

S₃=a₁ + a₂+ a₃,

……………………..

S_n-1=a₁ + a₂+ a₃ + … +a_n-1,

S_n=a₁ + a₂+ a₃+ … +a_n-1 + a_n,

называются частичными суммами ряда (1):

S₁ – первая частичная сумма, S₂ - вторая частичная сумма, …, S_n - n-ая частичная сумма ряда (1).

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1) , то говорят, что этот ряд сходится, а число S называют суммой ряда (1). При этом можно писать:

a₁ + a₂ + a₃ + … +a_n + …= S.

Если же последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, то говорят, что этот ряд расходится.

k-ым остаточным рядом ряда (1)называется ряд, который получается из ряда (1) в результате отбрасывания первых k его членов:

a_k+1 + a_k+2 + a_k+3 + … +a_n + … (2)