Кинематический анализ кулисного механизма

Рассмотрим кулисный механизм, представленный на рис. 8. Пусть кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью ω₁.

Т.к. точка А принадлежит одновременно трём звеньям, то примем следующие обозначения:

А₁ – точка, принадлежащая кривошипу 1;

А₂ – точка, принадлежащая кулисному камню 2;

А₃ – точка, принадлежащая кулисе 3.

Построим план скоростей (рис. 20). Из произвольно выбранного полюса р проводим прямую, перпендикулярную звену О₁А. На ней откладываем вектор в направлении угловой скорости ω₁, который соответствует скорости в выбранном масштабе (см. формулу (4)).

Рассмотрим кулисную группу Ассура ВПВ, состоящую из звеньев 2 и 3. Составим систему двух векторных уравнений, которая связывает искомую скорость точки А₂ с другими скоростями.

Т.к. кулисный камень 2 совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки А₂ можно представить в виде векторной суммы скорости точки А₁ и относительной скорости точки А₂ относительно А₁:

.

Т.к. точка А₂ в нашем примере совпадает с точкой А₁, то скорость = 0. Следовательно, скорости и равны по модулю и направлению.

Кулисный камень 2 совершает сложное движение. Вращательное движение кулисы является переносным, а поступательное движение кулисного камня относительно кулисы – относительным. Скорость точки А₂ со стороны кулисы 3 складывается из переносной и относительной скоростей

.

Таким образом, получим систему векторных уравнений:

. (17)

В этой системе нам известны скорости и . Переносная скорость складывается из скорости точки O₂ (которая равна нулю) и скорости точки А₃ (принадлежащей кулисе) относительно точки O₂. Скорость неизвестна по величине, а её линия действия перпендикулярна кулисе 3.

Относительная скорость точки А₂ (принадлежащей кулисному камню) относительно точки А₃ (принадлежащей кулисе) направлена вдоль движения кулисного камня, т.е. вдоль кулисы O₂А₃. С учётом этих замечаний запишем формулу (17) в виде:

. (18)

Система может быть решена графическим методом, путем построения плана скоростей (рис. 20).

 

 

Рис. 20. Построение плана скоростей кулисного механизма

 

В соответствии с первым уравнением системы (18) точка a₁ совпадает с точкой a₂. В соответствии со вторым уравнением через полюс р (точка о₂ совпадает с полюсом) проводим на плане скоростей прямую, перпендикулярную звену O₂А₃ (это линия действия вектора ). Т.к. скорость известна только по линии действия, то из точки a₁ проводим прямую параллельную звену O₂А₃ (линия действия вектора ). Точка пересечения этих двух прямых определит точку a₃, которая является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости . Направление векторов и находим из второго уравнения системы (18). Таким образом, построен план скоростей для кулисного механизма.

Вектор позволяет определить угловую скорость кулисы:

.

С такой же угловой скоростью в переносном движении движется и кулисный камень.

Построим план ускорений. Выбираем полюс q. Через точку q проводим прямую, параллельную звену О₁А. На ней откладываем вектор направленный к оси вращения О₁, соответствующий ускорению в выбранном масштабе (см. формулу (10)). Т.к. угловая скорость ω₁ – величина постоянная, то тангенциальное ускорение =0.

Рассмотрим кулисную группу Ассура (ВПВ). Составим систему двух векторных уравнений, которая связывает ускорение точки А₂ с другими ускорениями. Т.к. кулисный камень 2 совершает плоскопараллельное движение, то ускорение точки А₂ можно представить в виде векторной суммы скорости точки А₁ и относительного ускорения точки А₂ относительно А₁:

.

Т.к. точка А₂ в данном случае совпадает с точкой А₁, то ускорение = 0. Значит ускорения и равны.

Ускорение точки А₂ при сложном движении кулисного камня складывается из переносного, относительного и кориолисова ускорений:

.

Таким образом, получаем систему уравнений:

. (19)

Переносное ускорение складывается из ускорения точки O₂ (равно нулю) и ускорения точки А₃ относительно точки O₂. А в свою очередь раскладывается на две составляющие: нормальную и тангенциальную. Нормальное ускорение направлено вдоль кулисы А₃О₂ от точки А₃ к точке О₂ и определяется по формуле (13):

Тангенциальное ускорение неизвестно по величине, но его линия действия направлена перпендикулярно кулисе О₂А₃.

Относительное поступательное движение кулисного камня вдоль кулисы иногда называют релятивным движением. А относительное поступательное ускорение – релятивным ускорением. Релятивное ускорение направлено вдоль кулисы O₂А₃ и неизвестно по величине.

Модуль кориолисова ускорения определяется по формуле:

, (20)

где - угол между векторами и . Значение берётся из плана скоростей. В нашем случае =90˚ и =1.

Направление вектора можно найти по правилу левой руки (указательный палец направлен по вектору , большой – по вектору и тогда средний палец, отклоненный на 90˚, укажет направление кориолисова ускорения ) или по правилу Жуковского (повернув вектор относительной скорости на 90º в сторону переносного вращения). Таким образом вектор направлен перпендикулярно звену О₂А₃ в сторону точки О₁.

Перенесём в левую часть равенства и запишем систему (19) в виде:

. (21)

Эта система может быть решена графическим методом, путем построения плана ускорений (рис. 21).

В соответствии с первым уравнением системы (21) точка a₁ совпадает с точкой a₂, т.к. .

В соответствии со вторым уравнением через полюс q (точка о₂ совпадает с полюсом, так как её ускорение равно нулю) проводим на плане прямую, параллельную звену O₂А₃ и откладываем на ней вектор . Он направлен от точки А к точке О₂. Вектор соответствует в выбранном масштабе вектору . Через точку n₁ проводим прямую, перпендикулярную к звену O₂А (это линия действия вектора ). Вектор известен только по линии действия (вдоль кулисы), но неизвестен по величине. Зато по величине и линии действия известен вектор кориолисова ускорения . Вектору на плане соответствует вектор . Поэтому из конца вектора проводим линию действия вектора (перпендикулярно O₂А₃). Точка а₁(а₂) будет являться концом вектора . Откладываем этот вектор (вычтем его из вектора ) и получим на плане точку n₂.

Из точки n₂ проводим прямую параллельную звену O₂А (линия действия вектора ). Точка пересечения двух прямых проходящих через точки n₁ и n₂ определит точку a₃.

 

 

Рис. 21. Построение плана ускорений кулисного механизма

 

Вектор позволяет определить угловое ускорение кулисы:

.

Таким образом, мы рассмотрели порядок кинематического анализа кулисного механизма. Все остальные действия по определению абсолютных и относительных скоростей и ускорений те же, что и в примере кинематического анализа рычажного механизма с более простыми группами Ассура.