Закон Био – Савара – Лапласа

Закон Био – Савара – Лапласа был установлен экспериментально Жаном Батистом Био и Феликсом Саваром в 1820 году. Лаплас придал ему математическую формулировку в виде количественной связи между индукцией магнитного поля в некоторой точке пространства и порождающим ее элементом тока.

Био и Савар экспериментально исследовали магнитные поля, порождаемые токами, текущими по тонким проводникам различной формы. Полученный ими экспериментальный материал теоретически анализировал Лаплас. В основе анализа лежал принцип суперпозиции. Лаплас считал, что в каждом случае Био и Савар наблюдали поле, образованное всеми элементами конкретного проводника с током, то есть

, (7.7)

где – индукция магнитного поля, создаваемого в данной точке пространства элементом dl замкнутого контура L с током J. Ясно, что выражение (7.7) является обобщением формулы (7.6).

В итоге Лаплас нашел формулу, связывающую , такую, что после их подстановки в (7.7) и интегрирования получались результаты, совпадающие с опытными данными Био и Савара. Эта формула и получила название закона Био – Савара – Лапласа. В СИ закон Био – Савара –Лапласа имеет вид:

(7.8)

где m_о=4p∙10^–7 Тл∙м/А – магнитная постоянная, характерная для СИ, J – ток в проводнике, имеет такой же смысл, как и в законе Ампера (7.3), dV – объем трубки тока длиной dl, площадью поперечного сечения dS и плотностью тока такой, что , – радиус-вектор, проведенный из элемента проводника в точку А пространства, где определяется магнитное поле (рис. 7.2).

Подставляя (7.8) в (7.7), можно найти магнитное поле, создаваемое тонкими проводниками различной формы, то есть

Магнитное поле длинного прямого провода с током. Пусть по тонкому прямому проводу очень большой длины течет ток J (рис. 7.3). Необходимо вычислить магнитное поле в точке А, расположенной на расстоянии b от провода. Из рис. 7.3 следует, что при выбранном направлении тока все элементы проводника будут создавать в рассматриваемой точке пространства магнитные поля с одинаковым направлением (за плоскость чертежа). Поэтому при использовании формулы (7.9) вместо векторного сложения достаточно применить алгебраическое сложение индукций полей, Рис. 7.3. К расчету магнитного поля, создаваемого прямым длинным проводником с током. Вектор

создается элементом

проводника с током J создаваемых всеми элементами проводника с током. Из (7.8) следует, что элемент проводника с током создает в точке А элементарную индукцию магнитного поля, величина которой равна

где α – угол между направлением

и направлением

. Из рис. 7.3 видно, что

Поэтому

(7.10) Для прямого проводника бесконечной длины точка А с концов проводника будет видна под углом α=0 с его нижнего конца и α=π с его верхнего конца. Поэтому