Гл. Динамика вязкой несжимаемой жидкости.

 

§ 1. Ньютоновская вязкая жидкость и её реологическое уравнение.

Обобщённый закон Ньютона.

Под реологическими (рео – течь, логия – закон (греческое)) уравнениями сред понимают уравнения, связывающие компоненты тензоров напряжений, деформаций и их производных по времени(тензор скоростей деформаций представляет производную по времени от тензора деформаций ).

Такие уравнения могут быть независимы от конкретных обстоятельств данного движения среды, т.е. быть одинаковыми при разнообразном движении рассматриваемой среды, либо зависеть от характера различных возможных её движений.

Одним, из наиболее часто используемым, реологическим уравнением служит уравнение текучести вязкой жидкости, в простейшем случае прямолинейного слоистого (ламинарного) движения, отвечающее известному закону Ньютона:

(1)

Этот реологический закон утверждает существование простой пропорциональности между касательным напряжением , действующим в плоскостях соприкосновения слоёв жидкости и производными от скорости по направлению к этим плоскостям.

Формула (1) определяет внутреннее трение, или как говорят, вязкость жидкости по Ньютону.

Коэффициент , который зависит только от температуры жидкости (газа) носит название динамического коэффициента вязкости или просто коэффициента вязкости. ( В реальных жидкостях при очень больших давления зависит также и от давления). Вводится понятие кинематического коэффициента вязкости

Размерность в СИ

Динамические и кинематические коэффициенты вязкости различных жидкостей и газов можно найти в справочниках физико – химической направленности. Так для воздуха при

Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры представляется формулой Д.Н. Саттерленда, выводимой теоретически в кинетической теории газов:

(2)

Константы зависят от свойств газа например для воздуха -постоянная Саттерленда

Как видно из формулы (2) с ростом температуры вязкость всех газов растёт, для воздуха эта формула имеет вид:

(3)

Реологическое уравнение(1) представляет частный случай более общего, соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости, закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скорости деформаций. Этот закон носит наименование обобщённого закона Ньютона: (4)

Здесь тензор напряжений

напряжения в соответствующих направлениях.

(малое) – давление в этой точке.

единичный тензор.

Равенство (4) представляет реологическое уравнение ньютоновской несжимаемой вязкой жидкости.

Если вспомнить, что такое тензор скорости деформации , то в аналитической форме выражение запишется в виде:

(5)

Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых реологическим уравнением (4), обладают большинство жидкостей, а так же все газы.