ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, a₁₁е₁+a₁₂е₂)= a₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, a₂₁е₁+a₂₂е₂)= a₂₁

(е₂;е₁’)= a₁₂

(е₂;е₂’)= a₂₂

Приравниваем:

a₁₁=cos u

a₂₁= - sin u

a₁₂=sin u

a₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

 

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂<0 – гиперболический тип

I₂=0 – параболический тип

 

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).

Параллельный перенос:

Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:

a₁₁x’²+2a₁₂x’y’+a₂₂y’²+a’₃₃=0 (2)

точка О’ находится из условия: a₁₃’=0 и a₂₃’=0.

Получается система a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃=0 и a₁₂x₀+a₂₂y₀+a₂₃=0

Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)

Но точка О’ существует если знаменатели у x₀ и y₀ отличны от нуля.

Точка O’ – единственная точка.

Центр симметрии кривой существует если I₂¹0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа

Поворот:

Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а₁₂=0. a₁₂’= -0,5(a₁₁-a₂₂)sin2u+a₁₂cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

, после такого преобразования уравнение принимает вид

a₁₁’x’²+a₂₂’y’²+2a₁₃’x’+2a₂₃’y’+a₃₃’=0 (3)