Аналитическая геометрия на плоскости

Установление связи между алгеброй и геометрией было, по существу, революцией в математике. Это позволило воспринимать математику как единую науку и способствовало ее быстрому развитию. Создателем метода координат считают Рене Декарта, который дал описание метода координат и его применения к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к развитию целой ветви математики, которая решает геометрические задачи аналитически, т.е. алгебраическими методами и методами анализа. Эту часть математики называют аналитической геометрией.

1) Прямоугольная система координат – две взаимно перпендикулярные прямые (горизонтальная и вертикальная) с заданным масштабом.

2) Полярная система координат

Пусть на плоскости даны некоторая точка О и проходящая через нее ось ОХ. Положение любой точки М плоскости определяется расстоянием этой точки от полюса – радиус-вектором r и полярным углом между полярной осью и радиус-вектором.

Две координаты (r, ) определяют единственную точку плоскости и называются ее полярными координатами ( ).

Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки.

Обозначим через декартовы координаты точки М, через ее полярные координаты. Тогда зависимость между полярными координатами (r, ) точки М и ее прямоугольными координатами выражается формулами:

и обратно

.

Пример 1. Даны декартовы координаты точки М(1,-1). Найти ее полярные координаты.

Решение.

Так как х=1>0 и у=-1<0, то точка М находится в IV четверти, а значит

Итак, полярные координаты точки М( ).

Пример 2. Преобразовать к полярным координатам уравнение линии .

Решение.

;

;