Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,B2 .... Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не из­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А опреде­ляется по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(В1)РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+…+Р(Вn)РВn(А) (1)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Найдем, как изменились (в связи с тем, что собы­тие А уже наступило) вероятности гипотез, т.е. будем искать условные вероятности: РА(Вk), k=1…n

Найдем сначала условную вероятность PA(В1). По теореме умножения имеем

Р(АВ1) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А). Отсюда PA(В1)=[Р(В1)· РВ1(А)]/Р(А)

где Р (А) опр-ся по формуле (1). Аналогично нах-ся условные вер-ти других гипотез, т.е. PA(Вk)=[Р(Вk)· РВk(А)]/Р(А), k=1…n. (2)

Полученные формулы называют формулами Бейеса. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как ста­новится известным результат испытания, в итоге кото­рого появилось событие А.

Пример. Реш-е:

А-чел. страдает дальтонизмом. Н₁-выбран М; Н₂-выбрана Ж.

Р(Н₁)=Р(Н₂)=1/2; Р_Н1(А)=1/20; Р_Н2(А)=1/400; Р(А)=1/2(1/20+1/400)=21/800; Р_А(Н₁)=Р_Н1(А)·Р(Н₁)/Р(А)=20/21=0,9524