Второй способ

Из уравнения связи x+y=0 получим: y=−x. Подставив y=−x в функцию z(x,y)=3y3+4x2−xy, имеем:

z=3⋅(−x)3+4x2−x⋅(−x)=−3x3+5x2.

Таким образом задачу о нахождении условного экстремума функции двух переменных мы свели к задаче определения экстремума функции одной переменной.

z′x=−9x2+10x;−9x2+10x=0;x⋅(−9x+10)=0;x1=0;y1=−x1=0;x2=109;y2=−x2=−109.

Получили точки M1(0;0) и M2(109;−109). Дальнейшее исследование известно из курса дифференциального исчисления функций одной переменой. Исследуя знак z′′xx в каждой стационарной точке или проверяя смену знака z′x в найденных точках, получим те же выводы, что и при решении первым способом.

Рассмотрим еще один пример, в котором характер экстремума выясним посредством определения знака d2F.

Пример №3

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=5xy−4, если переменные x и y положительны и удовлетворяют уравнению связи x28+y22−1=0.

Решение

Составим функцию Лагранжа: F=5xy−4+λ(x28+y22−1). Найдем стационарные точкифункции Лагранжа:

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом x>0;y>0 (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим λ=−5xy и подставим найденное значение в первое уравнение: 5y−5xy⋅x4=0, 4y2−x2=0, x=2y. Подставляя x=2y в третье уравнение, получим: 4y28+y22−1=0, y2=1, y=1.

Так как y=1, то x=2, λ=−10. Характер экстремума в точке (2;1) определим, исходя из знака d2F.

F′′xx=λ4;F′′xy=5;F′′yy=λ.

Так как x28+y22−1=0, то:

d(x28+y22−1)=0;d(x28)+d(y22)=0;x4dx+ydy=0;dy=−xdx4y.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки x=2, y=1 и параметра λ=−10, получив при этом:

F′′xx=−52;F′′xy=−10;dy=−dx2.d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2=−52dx2+10dx⋅(−dx2)−10⋅(−dx2)2==−52dx2−5dx2−52dx2=−10dx2.

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше d2F представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2=λ4dx2+10⋅dx⋅−xdx4y+λ⋅(−xdx4y)2==λ4dx2−5x2ydx2+λ⋅x2dx216y2=(λ4−5x2y+λ⋅x216y2)⋅dx2

Подставляя x=2, y=1, λ=−10, получим:

d2F=(−104−102−10⋅416)⋅dx2=−10dx2.

Так как d2F=−10⋅dx2<0, то точка (2;1) есть точкой условного максимума функции z=5xy−4, причём zmax=10−4=6.