Понятие устойчивости. 

Понятие устойчивости.

Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью. Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение искомой величины y. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность Δx , которая обуславливает абсолютную погрешность решения Δy, то задача называется устойчивой по исходному параметру x, если малое приращение величины Δx приводит к малому приращению величины Δy. То есть малые погрешности в исходных данных приводят к малым погрешностям в решении.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или даже неверному результату. О неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторой области ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным. Рассмотренные выше неустойчивые задачи являются некорректно поставленными. Применять для решения таких задач численные методы, как правило, нецелесообразно.

В настоящее время развиты методы решения некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной задачей.

Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения.

При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода.

Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса…

Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации…

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью (корректностью) и сходимостью