Исследование функций и построение графиков

3.6.1. Исследование функций на монотонность и локальные экстремумы.

1. Находим область определения функции: .

2. Находим производную и ее область определения (в области определения исходной функции).

3. Находим точки, «подозрительные» на локальный экстремум. Ими будут точки из области определения , в которых или не существует

4. а) Отмечаем найденные точки на числовой прямой, выделяем полученные интервалы знакопостоянства производной.

б) Определяем знак производной в каждом интервале.

в) Определяем поведение исходной функции на каждом интервале.

5. Выписываем интервалы возрастания и убывания функции.

6. Указываем, в каких точках присутствуют локальные экстремумы, определяем их вид, находим значения функции в этих точках.

3.6.2. Нахождение глобальных экстремумов функции , непрерывной на отрезке

1. Находим производную и ее область определения.

2. Находим точки, «подозрительные» на глобальный экстремум:

а) Выписываем концы отрезка a и b.

б) Находим, в каких точках . Указываем, какие из них принадлежат заданному отрезку.

в) Находим, в каких точках заданного отрезка не существует.

3. Вычисляем значения в каждой точке, найденной в предыдущем пункте.

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции (из найденных в п.3). Ответ записываем в виде: , .

3.6.3. Определение промежутков выпуклости и точек перегиба

1. Находим область определения функции .

2. Находим первую производную и ее область определения.

3. Находим вторую производную и ее область определения.

4. Находим точки, «подозрительные» на перегиб, – те, в которых или в которых не существует.

5. а) Отмечаем на числовой прямой область определения функции , в этой области – найденные точки, выделяем полученные интервалы.

б) Определяем знак второй производной в каждом интервале.

в) Определяем поведение исходной функции на каждом интервале.

6. Выписываем интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз функции.

7. Указываем точки перегиба, находим значения функции в этих точках.

3.6.4. Полное исследование функции и построение графика

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.

3. Определяем промежутки знакопостоянства функции:

4. Находим асимптоты.

5. Находим промежутки монотонности, локальные экстремумы.

6. Находим промежутки выпуклости, точки перегиба.

7. Строим эскиз графика.