V. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ
Примеры:
1. 
1) D(y)=R, E(y)=R (находим по графику)
2) Непрерывность. Асимптоты.
Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, т.е. на всей числовой прямой. Выясним поведение функции на концах области определения.
Асимптот нет.
3) Четность.
Так как область определения функции симметрична относительно нуля, выясним, имеют ли место следующие равенства:
или 
.
.
Следовательно, функция является нечётной. Её график симметричен относительно начала координат.
4) Функция не является периодической.
5) Нули функции
или 
(0;0); 
- точки пересечения графика с осями.
6) Монотонность функции. Экстремумы функции.
x=0 , 
| x | 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| y` | + | _ | _ | + | |||
| y | 
| 
| 
| 
| -0,007 | 
|
max min
7) Выпуклость. Точки перегиба.
x=0 или 
| x | 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| _ | + | _ | + | |||
| y | 
| 0,004 | 
|
| -0,004 |
|
т. перегиба т. перегиба т. перегиба
8) График
2. 
1) 
, E(y)= 
(определяем в конце задания после построения графика функции).
2) Непрерывность. Асимптоты.
Данная функция определена при всех значениях 
, кроме 
. Так как функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка . Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при 
.
.
.
Следовательно, функция в точке имеет бесконечный разрыв, т.е. - точка разрыва II-го рода. - вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты.
Итак, 
и 
. Следовательно, при 
и при 
график функции имеет наклонную асимптоту 
.
3) Четность.
Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
4) Функция не является периодической.
5) Нули функции.
y=0 , если x2-x=0; x(x-1)=0; x1=0 или x2=1
(0; 0), (1; 0) – точки пересечения графика с осями координат.
6) Монотонность. Точки экстремума.
, если 2x2+2x-1=0
2x2+2x-1=0
D=4+8=12
| x | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| + | _ | - | _ | + | ||
| y | 
| 
| 
| - | 
| -0,13 | 
|
max min
7) Выпуклость. Точки перегиба.
не существует при
| x | 
|
| 
|
|
| _ | - | + |
| y |
| - |
|
Точек перегиба нет
8) График
3. 
1) D(y)=R, E(y)= 
(определяем в конце задания после построения графика функции).
2) Непрерывность. Асимптоты.
Функция непрерывна на всей числовой прямой. Точек разрыва нет. Следовательно, вертикальных асимптот нет.
Исследуем поведение функции на концах области определения.
При 
. Следовательно, при функция имеет горизонтальную асимптоту 
3) Четность.
Область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
4) Функция не является периодической.
5) Нули функции.
y=0, если x=-1
Если x=0, то 
- точки пересечения с осями.
6) Монотонность. Экстремумы функции.
, если x = -2 - критическая точка
| x | 
| -2 | 
|
|
| _ | + | |
| y | 
| 
| 
|
min
7) Выпуклость. Точки перегиба.
, если x=-3
| x | 
| -3 | 
|
|
| _ | + | |
| y |
| 
|
|
т. перегиба
8)
