Систематические коды

Другой подход к построению кодов – разделение разрядов кода на информационные и контрольные. Такие коды называются систематическими. Пусть всего в коде n разрядов, из них k – информационных и r – контрольных разрядов (n=k+r). Такой код может передавать N = 2^k различных сообщений. Из r контрольных разрядов можно организовать 2^r различных комбинаций. Для обнаружения и исправления одиночной ошибки нужно, во-первых, указать наличие/отсутствие ошибки и, во-вторых, указать номер разряда, в котором произошла ошибка.

Таким образом, чтобы в контрольных разрядах можно было передавать информацию для исправления одиночных ошибок, их количество должно удовлетворять неравенству 2^r≥n+1 или 2ⁿ/(n+1)≥N. Если достигается равенство: 2ⁿ/(n+1)=N, то количество контрольных разрядов, приходящихся на один информационный, будет наименьшим. Например, для N=4 различных сообщений (k=2) наименьшее значение n равно пяти (2⁴/(4+1) = 3,2 < 4, а 2⁵/6 ≈ 5,3 > 4). Значит, количество контрольных разрядов, необходимое для обнаружения и исправления одиночных ошибок r = n-k = 5-2 = 3.