Виды математических моделей ИС

Следует четко различать между собой математические структуры, модели и алгоритмы.

Под математической структурой понимается математическое описание перечня используемых в задаче множеств, отношений и ограничений. Условимся, что математическая структура представляет собой набор символов, заключенных двойными угловыми скобками.

и состоящий:

- из нескольких основных множеств математических элементов разной природы, различающихся условно приписываемыми им наименованиями;

- из заданных на этих множествах отношений различной арности, так что m-арное отношение

- из конечного запаса отображений из декартовых произведений множеств в , то есть отображений вида

.

Основные свойства отношения и отображения задаются аксиомами, которые должны быть включены в полное описание математической структуры.

В реальных условиях часто отсутствуют некоторые сведения о параметрах системы, протекающих в ней процессах. Чтобы отразить подобную неопределенность в математической структуре вводятся дополнительные множества, отражающие пространство событий, их пересечения и объединения, а также количественную меру осуществления возможных событий (напр., вероятности).

В математических моделях (ММ) осуществляется конкретизация математической структуры путем соответствующего задания базисных множеств всех отношений, сопровождаемая интерпретацией понятиями реальной задачи, что позволяет считать такую математическую конструкцию отражением исследуемой реальной действительности. Другими словами, математическое моделирование предполагает установление взаимно однозначного соответствия между объектами математической структуры ST и объектами (сигналами, элементами, параметрами, связями) реальной системы, процесса, явления на определенном уровне описания.

Анализ начинается с описания используемых в ММ основных множеств , которые представляю собой множества входных и выходных сигналов, множества преобразующих элементов (ПЭ), множества внутренних и внешних параметров.

Алгоритмом называется точное пошаговое предписание о выполнении в заданном порядке определенных действий (операций), позволяющее получать решения в задачах данного класса.

Противопоставлением алгоритмического пути является эвристический путь нахождения решения. Эвристикой (от греч. находить, открывать) называется метод поиска решения задачи, опирающийся на человеческий опыт и интуицию и не имеющий четкого математического обоснования.

Внешние и внутренние ММ. Описание свойств ИС складывается из описания внутренних и внешних характеристик. Это отражается в построении внешней и внутренней ММ.

Внешняя (Внш) ММ предназначена для отображения внешней связности типа «вход-выход» и не содержит никаких деталей ИС. Она строится на основе описания множеств входных S и выходных S сигналов, а также множества Q внешних параметров. Множество В преобразующих элементов состоит из одного элемента b, отображение f_b, описывающее поведение ПЭ и связывающего входы системы с ее выходами задается формально, так как внутренний механизм преобразования входных сигналов в выходные сигналы не принимается во внимание. В результате формируется макромодель системы:

 

Внутренняя (Внтр) ММ служит для описания внутренней связности сигналов и элементов ИС путем детализации отображения в виде некоторого набора формально заданных операторов . Она имеет вид

Детализация формального поведения ограничивается заданием m-арных отношений на множестве преобразующих элементов. Конкретный вид преобразований по-прежнему не известен. Поэтому Внтр ММ можно рассматривать как связный набор внешних ММ преобразующих элементов.