Достаточные условия экстремума. Окаймлённый гессиан

Для простоты изложения ограничимся функцией от двух переменных, подчиненных условию . Предполагаем, что функции обладают непрерывными производными до второго порядка включительно и обозначаем, например, , , и т.п. Для нахождения точки, в которой возможен условный экстремум, используем метод множителей Лагранжа, описанный выше. Строим функцию Лагранжа

.

(отметим, что иногда пишут . Никакой разницы это не даст, т.к. уравнение равносильно уравнению ).

Точки, в которых может быть условный экстремум, удовлетворяют системе

Для того, чтобы выяснить, есть ли экстремум в найденной точке (или одной из найденных точек, если система имеет не одно решение), следует использовать второй дифференциал, как и в случае обычного экстремума. Однако в рассматриваемом случае , откуда дифференцируя, находим:

,

или, если, например ,то

.

Кроме того, при условии рассматриваемая функция просто совпадает с и поэтому экстремумы этих функций совпадают. Поэтому далее исследуем на экстремум функцию . Найдём её второй дифференциал.

Итак, знак (при условии что переменные связаны уравнением , откуда ) совпадает со знаком величины

(8)

Для удобства запоминания рассмотрим определитель (окаймленный гессиан) и его разложение по первой строке

 

(9)

Сравнивая (8) и (9) видим, что в рассматриваемой задаче знак второго дифференциала противоположен знаку окаймленного гессиана.

Поэтому если , то и в точке есть условный максимум, если , то и в точке есть условный минимум.

Замечание. Вновь обратим внимание на то, что если уравнение связи можно решить, выразив, например , то вопрос об условном экстремуме сведется к исследованию на экстремум обычных функций от одной переменной.

Замечание. Вопрос о том, нет ли среди уравнений связи лишних, решается с помощью теории независимости функций ( см. приложение).