Изгибные колебания. Получение системы дифференциальных уравнений

Допущения:

- лопатку рассматриваем как закрученный стержень переменного сечения;

- отсутствует связь изгибных и крутильных колебаний;

- ось лопатки проходит через центры тяжести всех сечений и нерастяжима;

- при колебаниях все сечения остаются плоскими и перпендикулярными упругой линии (гипотеза Кирхгофа – Лява).

Примем систему координат OXYZ, начало которой O расположено в центре тяжести корневого сечения, оси X и Y совпадают с главными центральными осями инерции корневого сечения (пусть ), ось Z направлена по оси лопатки. Оси вспомогательной системы координат параллельны осям главной системы координат, начало находится в центре тяжести текущего сечения. Выделим в лопатке бесконечно малый элемент высотой dz (рис. 14.1).

Рис.14.1. Бесконечно малый элемент лопатки

и динамические силы, приложенные к нему при изгибных колебаниях

Рассмотрим условия равновесия элемента с учетом сил инерции

где и - упругие смещения в направлении осей X и Y. Знак волны над переменной означает то, что она зависит от времени.

В направлении оси

, откуда

(14.1)

Из условия равновесия в направлении оси аналогично получаем

(14.2)

Вокруг оси :

Приводя подобные и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получаем

. (14.3)

Вокруг оси :

Приводя подобные и пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, получаем

. (14.4)

Установим связь моментов и углов поворота сечений. В плоскости OXZ (рис. 14.2)

Рис.14.2. Изгиб оси лопатки в плоскости OXZ

1 – положение сечения в равновесном состоянии; 2 - положение изогнутой оси лопатки;

3 - касательная к изогнутой оси лопатки в месте расположения сечения.

Из рис. 14.2 видно, что

С учетом знаков момента и угла поворота

(14.5)

Рис.14.3. Изгиб оси лопатки в плоскости OYZ

1 – положение сечения в равновесном состоянии; 2 - положение изогнутой оси лопатки;

3 - касательная к изогнутой оси лопатки в месте расположения сечения.

В другой плоскости из рис. 14.3 видно

(14.6) .

Сечение лопатки поворачивается вокруг осей X и Y. Из рис. 14.4 видно, что (с учетом знаков углов поворота) перемещение произвольной точки сечения в направлении оси Z вследствие поворота сечения вокруг оси X составляет

Рис.14.4. Поворот сечения лопатки в плоскостях OXZ и OYZ

вследствие поворота сечения вокруг оси Y составляет

Есть также перемещение в направлении оси Z сечения в целом, связанное с перемещением его центра, точки О₁ . Полное перемещение точки в направлении оси Z

Согласно формулам Коши

Тогда напряжение в окрестности точки

Это напряжение создает бесконечно малые моменты вокруг осей (рис. 14.5)

Рис. 14.5. Определение знаков моментов сил от напряжения на бесконечно малой площади dF

Полный момент

В первое слагаемое входит статический момент вокруг оси . Поскольку – главная ось инерции, этот момент равен нулю. Во второе слагаемое входит момент инерции относительно оси , в третье – центробежный момент инерции. Таким образом,

Аналогично:

Поскольку деформации лопатки при колебаниях малы, будем считать, что оси главной и вспомогательной систем координат приблизительно параллельны. Тогда

; , моменты инерции тоже приблизительно одинаковы.

Запишем два последних уравнения в матричной форме.

Обозначив матрицу как [A] , получим

Пусть матрица имеет вид . Тогда

(14.7)

(14.8)

Уравнения (14.1)…(14.8) образуют систему дифференциальных уравнений, описывающих изгибные колебания лопатки:

Параметры в первых четырех уравнениях, а именно: q_x ; β_y ; M_y ; Q_x имеют отношение к плоскости OXZ, поэтому первые четыре уравнения описывают колебания в плоскости OXZ, а последние четыре – определяют колебания в плоскости OYZ. Связь между колебаниями в этих плоскостях осуществляется через коэффициент a_xy при M_x и M_y. Если лопатка не слишком закрученная, то оси и приблизительно совпадают с главными осями инерции во всех сечениях, в таком случае центробежные моменты инерции близки к нулю, коэффициент a_xy = 0 и связь между колебаниями в плоскостях OXZ и OYZ отсутствует. В этом случае

; .

Рассмотрим колебания в плоскости OXZ, т. е. только первые четыре уравнения. Их решение будем искать в гармоническом виде (где p – собственная частота колебаний):

После подстановки в дифференциальные уравнения получаем:

Из первого уравнения . Подставим это во второе уравнение, получим . Подставив в третье уравнение, получим . Подставив в четвертое уравнение, получим . Окончательно получили дифференциальное уравнение четвертого порядка