Кручение бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

Деформацию, кручение вызывают пары внешних сил, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси бруса. Брус, работающий на кручение – балка.

Правило знаков для крутящих моментов (внутренних), возникающих в поперечном сечении под действием скручивающих (внешних): внешний момент считается положительным, если он вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки, относительно продольной оси (следует смотреть со стороны поперечного сечения разреза). Знак физического смысла не имеет!

Напряжение и деформацию определяем для брусьев коль­цевого и круглого поперечных сечений. Касательные напря­жения, возникающие в попереч­ном сечении в каждой ее точке перпендикулярны ра­ди­ус-вектору этой точки.

T(x)=∫_aτdAρ=∫_aτρdA

Крутящий момент Т(х) равен сумме моментов всех элемен­тарных внутренних сил tda, возникающих в поперечном сечении разреза относительно продольной оси.

Гипотезы, положенные в основу вывода формулы:

- Сечения до де

формации остаются плоскими, и после деформации.

- Радиус-векторы точек сечения r в процессе деформации не искривляются.

j - угол закручивания или угол взаимного поворота 2 сечений, отстоящих на расстоянии ℓ. θ=dφ/dx=γ/ρ – относительный угол закручивания, γ – угол сдвига.

Закон Гука при кручении

τ = σ + γ; σ =Еε; I_Р-полярный момент инерции. Т(х)= ∫_АτρdA = ∫_А{(σθρ)ρdA/τ} =σθI_P. σ-модуль сдвига – характеризует свойства материала. σI_P - жесткость поперечного сечения на кручение. Формула для вычисления взаимного угла поворота 2 сечений, находящихся на расстоянии l: φ=∫_lT(x)dx/σI_P

φ=å^K_i=1(T(x)l_i)/G_iI_Pi, где к – число участков на которых величины Т,G,ρ – const. Т(х)-крутящий момент в рассматриваемом сечении. ρ-полярный момент инерции поперечного сечения. ρ-координата точки, в которой мы вычисляем напряжение.

Эпюра τ в поперечном сечении вала.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Прочность вала считается обеспеченной, если max напряжения τ_max в опасном сечении его не превышают допустимых.

Τ_max≤[τ_КР]. Опасным для вала с W_ρ=const будет то сечение, в котором Т(х) мах. Wρ - полярный момент сопротивления сечения вала.

Iρ=πd⁴/32; Iy=Iz= πd⁴/64; Iρ=Iy+Iz; Wρ= Iρ/(d/2)= πd³/16=0.2d³

С условия прочности вытекает 3 типа задач:

1) проверочный расчет.

2) проектный расчет.

T(x)/Wρ≤ [τ_КР]; Wρ≥T(x)/[τ_КР]; πd³/16≥ T(x)/[τ_КР]; d≥³√(16T(x)/(π[τ_КР])) или d≥³√(T(x)/(0.2[τ_КР])).

Для кольцевого сечения:

Iρ=πD⁴/32 - πd⁴/32=(πd⁴/32)(1-e⁴);

C=D/d; Wρ=(πd³/16)(1-e³)

d≥ ³√ (16T(x)/(π(1-c³)[τ_КР])) или

d≥ ³√ (T(x)/(0.2(1-c³)[τ_КР])).

3) определение грузоподъемности:

из условия прочности имеем:

T(x)/Wρ≤ [τ_kp];

Расчет на жесткость: условие жесткости: φ=∫_LT(x)dx/GIρ≤[φ]; [φ]=(4…17)10^-3 рад/м. Если Т(х)=const и Iρ=const, то: φ=T(x)dx/GIρ≤[φ];