Вычисление момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

J_z=∫_Fy²dF-момент инерции относительно оси z

J_y=∫_Fz²dF-момент инерции относительно оси y

J_yz=∫_FzydF

Повернем оси у,z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z₁,y₁;

J_y1z1=∫Fz₁y₁dF

J_y1=∫_Fz²₁dF

J_z1=∫_Fy²₁dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z₁,y₁ выражаются через координаты z,y прежней системы осей следующим образом;

Z₁=OC+AD=zcosα+ysinα

y₁=CB=BD-EA=ycosα-zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

J_z1=∫_F(ycosα-zsinα)²dF= =c =cos²α∫_Fy²dF+sin²α∫_FZ²dF- -sin2α∫_FyzdF

J_y1=∫_F(zcosα+ysinα)²dF= =sin²α∫_Fy²dF+cos²α∫_FZ²dF+sin2α∫_FzydF

J_y1z1=∫_F(zcosα+ysinα)(ycosα-zsinα)dF=(cos²α-sin²α) ∫_FzydF+(1/2)sin2α(∫_Fz²dF-∫_Fz²dF)

Окончательно находим;

J_z1=J_zcos²α+J_ysin²α-J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α+J_zsin²α-J_zysin2α

J_z1y1=J_zycos2α-(1/2)(J_y-J_z)· ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

J_UV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z,y на некоторый угол α₀, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

J_z1y1=J_VU=0

Тогда из формулы

J_z1y1=J_zycos2α-(1/2)(J_y-J_z)·sin2α

получим

J_z1y1=J_zycos2α₀-(J_y -J_z)2(sin2α₀)

Откуда

tg2α₀=2J_zy/J_y-J_z

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

J_z1=J_zcos²α+J_ysin²α- J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α+J_zsin²α-J_zysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α=α₀

J_z1=J_zcos²α₀+J_ysin²α₀ -J_zysin2α₀

J_y1=J_ycos²α₀+J_zsin²α₀-J_zysin2α₀

Если исключить α₀ из трех уравнений (J_z1,J_y1, J_z1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

J_U=1/2[(J_z+J_y)±√(J_z-J_y)²+4J²_zy]

J_V=1/2[(J_z+J_y)±√(J_z -J_y)²+4J²_zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный момент инерции равен 0

2)относительно V,U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.