Решение СУХР для систем с одной химической реакцией методом Ньютона

Для решения СУХР системы с одной химической реакцией методом Ньютона будем использовать условие равенства нулю химического сродства в состоянии химического равновесия:

[Дж/моль]

Введем безразмерные величины для химического сродства и свободной энергии Гиббса

Тогда в состоянии химического равновесия имеем: ,

и СУХР в канонической форме записи примет вид:

СУХР= (1)

где - непрерывные функции от 3-х независимых переменных Введем новые переменные: . Тогда

СУХР= . (2)

Система уравнений (2) решается приближенным итерационным методом Ньютона. При этом нелинейные уравнения (2) заменяются подходящим линейным отображением, используя линеаризацию через разложение функций по формуле Тейлора.

(3)

При решении системы линейных уравнений (3) в (к+1) - ом приближении определяются поправки:

Если при к-ом приближении значения известны, то при
(к+1) -ом приближении значения этих параметров будут равны:

(4)

Решение (4) оказывается подходящим приближением к решению системы уравнений (3) при условии, что поправки в (к+1) –ом приближении будут менее заданной величины погрешности , т.е.

(5)

где погрешность - малое число (10^-3,….., 10^-6). Итерации продолжаются до выполнения условия (5).

Последовательность расчета:

1) Выбираются величины к-го приближения: .

2) Вычисляется матрица коэффициентов уравнений системы (3) (матрица Якоби): . Эти коэффициенты являются частными производными величин и .

3) Решается система уравнений (3) для определения величин в (к+1)-ом приближении. Процесс итераций продолжается до тех пор, пока изменение величин (к+1)-го приближения не окажется в пределах погрешности .