Асимптоты.
Опр. Прямая наз-ся асимптотой кривой, если расстояние 
от переменной точки 
кривой при удалении точки в 
стремится к 0, т.е. 
.
Опр.Прямая 
яв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции 
, если 
или 
(т.е. т. 
яв-ся точкой разрыва 2-го рода ф-ции 
).
ПР. 
Пусть прямая 
яв-ся наклонной асимптотой графика ф-ции . Найдем 
и 
.
. 
, 
(1)
_______________________________________________________
Найдем :
(2)
Если хотя бы один из пределов (1) или (2) не существует или бесконечен, то наклонной асимптоты при 
нет.
При 
аналогично.
ПР. 
;
– верт. ас-та; 
– накл. ас-та.
§ 4. Общая схема исследования ф-ции и построения графика.
1.Исследование вида зависимости 
:
a)область определения;
b)точки разрыва;
c)четность и нечетность;
d)периодичность;
e)точки пересечения с осями координат;
2.Асимптоты:
a)вертикальные;
b)наклонные.
3.Исследование по первой производной:
a)критические точки 1-го порядка;
b)участки монотонности;
c)точки локальных экстремумов.
4.Исследование по второй производной:
a)критические точки 2-го порядка;
b)участки выпуклости и вогнутости;
c)точки перегиба.
5.Исследование поведения функции на концах области определения.
6.Построение графика с учетом результатов, полученных в пунктах 1-5.
Пр. 1) 
1.
a) 
b)непрерывна
c) 
– ф-ция общего вида
d)непериодическая
e) 
2.
a)ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет
b) 
3. 
a)критические точки 1-го порядка: 
– – –
b) 
0 1 x
c)экстремумов нет
4. 
a)критические точки 2-го порядка:
+ – +
b) 
0 
1 x
c) 
точки перегиба: 
5.
| |
, 
ПР. 2. 
.
1.
a)
b)непрерывна
c)ф-ция общего вида
d)не периодическая
e) 
_______________________________________________________
2.
a)ф-ция непрерывна Þ вертикальных асимптот нет
b) 
3. 
a)критические точки 1-го порядка: 
– + – –
0 4/3 2 x
b) 
4. 
a)критические точки 2-го порядка: 
– – +
b) 0 2 x
c) 
точка перегиба: 
5. 
, 
ПР.3. 
; 
; 
– ас-ты, 
– min, 
– перегиб.
Пр. 4. 
1.
a) 
b) 
– т. разрыва 2-го рода
c)нечетная
d)непериодическая
e) 
2.
a) – верт. асимптоты, 
, 
, 
, 
.
b) 
3. 
a) 
+ – – – – +
b) 
-2 0 2 
x
c) 
– точки максимума и минимума;
4. 
a) 
– + – +
b) 
-2 0 2 x
c)точка перегиба: 
5. 
, 
________________________________________________________
§ 5. Глобальный экстремум. на практику!
Если 
непрерывна на 
, то своего наибольшего (наименьшего) значения она может достигать либо в точке локального экстремума, принадлежащей , либо на конце отрезка (проиллюстрировать на рис.).
Правило: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке (области определения), надо:
1) найти все точки локальных экстремумов на (или критические точки первого порядка), вычислить в них ;
2) вычислить 
и 
(значения на концах области определения);
3) из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пр. Найти наибольшее и наименьшее значения 
на отрезке 
. Ответ: 
.