Вычисление скалярного произведения, примеры и решения.

Решение различных задач на вычисление скалярного произведения векторов сводится к использованию свойств скалярного произведения и формул

1. ;

2. ;

3. или ;

4. .

Разберем решения наиболее часто встречающихся примеров.

Начнем с самых простых случаев, когда вычисление скалярного произведения производится на основе определения.

Пример.

Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .

Ответ:

.

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора и , найдите их скалярное произведение.

Решение.

В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:

Ответ:

.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если известны координаты трех точек в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости .

Решение.

Найдем координаты векторов по координатам точек их начала и конца:

Теперь можно использовать формулу для вычисления скалярного произведения в координатах:

Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример, требующий сначала применить свойства скалярного произведения, и только затем переходить к вычислению.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если векторы и перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Решение.

. По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем . Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид
.

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем . Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ:

.

Сейчас рассмотрим пример на нахождение скалярного произведения векторов через числовую проекцию.

Пример.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а проекция вектора на направление вектора имеет координаты .

Решение.

Векторы и противоположно направленные, так как , следовательно, числовая проекция вектора на направление вектора будет равна длине вектора со знаком минус: .

Вычисляем скалярное произведение .

Ответ:

.

Также встречается масса обратных задач, когда скалярное произведение векторов известно, а требуется найти, например, длину одного из векторов, угол между векторами, числовую проекцию, либо что-нибудь еще.

Пример.

При каком значении скалярное произведение векторов и равно -1.

Решение.

Так как скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат, то . С другой стороны по условию . Тогда искомое значение находим из уравнения , откуда .

Ответ: