Б.Зависимость вероятности появления искаженной комбинации от длины

Статистическая вероятность появления искаженной комбинации определяется как отношение числа искаженных комбинаций B_ош(n) к общему числу комбинаций B₀(n), т.е.

Вероятность Р(≥1,n) является неубывающей функцией n. При n=1 Р(≥1,n)=р, а при n→∞ вероятность P(≥1,n) с ростом n зависит от характера распределения ошибок.

На рис. 3.2 показана функция P(≥1,n) в логарифмическом масштабе, т.е. log P(≥1,n)=log p + log n. Это выражение является уравнением прямой, пересекающейся с осью y точке y=p под углом β₁. Так как угловой коэффициент tgβ₁=1, то β₁=π/4.

Для гипотетического канала, у которого часть последовательности ошибок e₁= e₂=…= e_Мош=1, а остальная часть e_Мош+1= e_Мош+2=…= e_L=0, на интервале 1≤i≤M_ош частость ошибок р_L₁= M_ош/ M_ош = 1, а на участке i > M_ошчастость ошибок р_L₂=0. Так как число искаженных комбинаций длины n B_ош(n)=М_ош/ n, а общее число комбинаций B₀ = L / n, то вероятность появления искаженной комбинации:

Таким образом, для канала, у которого ошибки появляются плотной группой на одном из временных

Рис. 3.2

интервалов, вероятность появления искаженной комбинации не зависит от n и log Р(≥1,n)=log p. Это выражение представляет собой уравнение прямой линии, параллельной оси абсцисс, так как tg β = 0 и β = 0 (прямая II на рис.3.2). Эта прямая пересекается с осью y в точке с ординатой, равной р. Прямые I и II на рис.3.2 являются границами (пределами) зависимости Р(≥1,n) = f(n), т.е. p ≤ Р(≥1,n) ≤ np.

Исследования каналов показали, что для реальных каналов зависимости log Р(≥1,n) = f(log n) достаточно хорошо аппроксимируются прямыми линиями при числе элементов в комбинации от 1 до 500. Прямые, соответствующие этим зависимостям, находятся между указанными выше границами и имеют угол наклона β < β₁(прямые III на рис.3.2 с углами наклона β₂и β₃). Такой характер зависимости Р(≥1,n) = f (n) является следствием группового характера появления ошибок в реальных каналах. Для описания зависимости Р(≥1,n) = f (n) достаточно определить значение двух параметров: вероятности ошибки р и углового коэффициента tg β. Обозначим tg β = 1 – α, тогда

log Р(≥1,n) = log p + (1 - α) log n

или

Р(≥1,n) = n^1-^αp .

Если α=0, то tg β = 1, что соответствует независимому появлению ошибок. При этом Р(≥1,n) = np (прямая I на рис.3.16). Если α = 1, то tg β = 0, что соответствует предельно групповому характеру появления ошибок в реальных каналах (прямые III на рис.3.2). Параметр α характеризует степень группирования ошибок и поэтому получил название показателя группирования ошибок. Показатель группирования является важным параметром последовательности ошибок.

Параметр α определяется по статистическим данным. Из выражения для log Р(≥1,n) имеем:

Подставив исходные значения Р(≥1,n), после преобразования получим:

Для вычисления параметра α по статистическим данным последовательность ошибок разбивают на подпоследовательности длиной n, определяют число искаженных комбинаций В_ош(n) и вычисляют значение α. Однако вычисление параметра α при одном значении n может дать значительную погрешность, так как значения В_ош(n) на конечной выборке могут иметь случайные выбросы. Для более точного вычисления параметра α вычисляют ρ значений α при ρ значениях n. По полученным значениям α_i определяют параметр α как среднее значение α_i,т.е.

Значения n берутся из интервала, где np«1.

При ρ=5÷10 погрешность вычисления параметра α становится несущественной.

Значения параметра α для различных каналов связи приведены в табл. 3.1

Таблица 3.1

Тип канала	Значение ρ	Значение α
макс.	мин.	макс.	мин.
Кабельные телефонные	10^-4	10^-6	0.7	0.5
Радиорелейные телефонные	10^-3	10^-4	0.5	0.3
КВ радиотелеграфные	10^-1	10^-3	0.4	0.3

Наибольшее значение α принимает для телефонных кабельных каналов, потому что кратковременные прерывания в различных промежуточных пунктах кабельной магистрали приводят к появлению групп с большой плотностью ошибок.

Меньшее значение α имеет для радиорелейных телефонных каналов, так как в них, наряду с участками большой плотности, наблюдаются участки с редкими ошибками, появляющимися за счет повышения уровня шумов.

В КВ радиотелеграфных каналах вследствие замирания сигнала и воздействия помех обычно наблюдаются не только пачки ошибок, но и одиночные ошибки. Поэтому показатель группирования принимает, как правило, наименьшие значения.

Для каналов тонального телеграфирования обычно параметр α имеет такое же значение, что и для кабельных телефонных каналов, так как причины возникновения ошибок одни и те же.