Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) основывается на представлении сигнала на основе суммирования его грубого представления с детализирующими локальными представлениями сигнала в его разных местах. Для этого используют ортогональные вейвлеты, создавая их на представлении пространства V в виде системы вложенных подпространств V_j, отличающихся друг от друга только перемасштабированием независимой переменной.

Этот вид анализа базируется на следующих исходных предпосылках:

● пространство сигналов V может быть разбито на иерархически вложенные подпространства V_j , которые не пересекаются и объединение которых дает в пределе L²(R);

● для любой функции s(t)ÎV_j ее сжатая версия принадлежит пространству V_j-1 ;

● существует такая функция φ(x)ÎV₀ , для которой ее сдвиги
φ_0,j= φ(t-k) при kZ образуют ортонормированный базис пространства V₀.

Так как функции φ_0,k(t) образуют ортонормированный базис пространства V₀, то функции

(8)

образуют ортонормированный базис пространства V_j.

Эти функции называются масштабирующими, потому что они создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. При этом сигнал s(t) может быть представлен множеством последовательных приближений s_j(t) в субпространствах V_j.

Переменная j называется масштабным коэффициентом. Поскольку дерево декомпозиции сигнала при вейвлет-преобразовании принято отсчитывать вниз, значит сигнал s(t) есть предел аппроксимации s_j(t) )ÎV_j
при j→-∞, т.е.

s(t)=.

При больших j получаем грубые приближения сигнала, а при малых – точные. Приближение сигнала соответствует итерационной формуле:

,

причем

,

где h_k - некоторая последовательность. Сумма приближенной и детализирующей компонент дает исходный сигнал с тем или иным приближением.

Кратномасштабное представление лежит в основе многих применений вейвлет-анализа и вейвлет-преобразований. Например, применительно к сигналам изображений, оно означает представление изображений последовательностью образов с разной степенью их детализаций. При этом для создания грубого образа сигнала служит функция φ(t), а уточнение этого образа достигается с помощью вейвлет-функций или вейвлет-коэффициентов.

Первым типом вейвлета, на котором была теоретически доказана возможность кратномасштабного анализа (КМА) был вейвлет Хаара. На его примере было показано, что в ходе прямого и обратного дискретного вейвлет-преобразования возможно полное восстановление сигнала, если для целых k существуют такие коэффициенты {h_k}, что

.

Это функциональное уравнение является одним из важнейших в теории вейвлет-анализа, и называется уравнением масштабирования или уравнением уточнения. Для функции Хаара можно найти, что коэффициенты .

Добеши создала знаменитую серию вейвлетов, у которой, вейвлет db2 в сущности, является вейвлетом Хаара. Для получения вейвлета db4 Добеши использовала множество коэффициентов W={} и потребовала, чтобы линейная комбинация с векторами [1,1,1,1] и [1,2,3,4] была равна 0, т.е.

и .

Используя эти соотношения в качестве условий нормирования и ортогональности, можно найти коэффициенты вейвлета Добеши db4:

.

Уравнение масштабирования может иметь несколько иные формы записи, оно может быть задано в виде (x=t для временных зависимостей):

причем (9)

Вместо коэффициентов h_k здесь использованы коэффициенты ω_n и более удобная для большинства вейвлетов нормировка.

Дискретизация параметра a=2^j означает возможность управления разрешением сигнала в ходе вейвлет-преобразований. Значения масштаба a и разрешения 1/a представлены ниже в таблице 1.

 

Таблица 1 – Значения масштаба а и разрешения 1/а.