Примеры решения задач

 

8.4.1. Заданы независимые случайные величины Х и Y:

xi	-1				yj
pi	0,2	0,5	0,3	qj	0,2	0,4	0,3	0,1

 

Составить законы распределения случайных величин Х + Y , ХY, Х²+ Y².

Решение. Указанные законы распределения приведены в табл. 8.11 - 8.13.

Таблица 8.11

xi + yj	-1
pij	0,04	0,18	0,32	0,29	0,14	0,03

Таблица 8.12

xiyj	-3	-2	-1
pij	0,02	0,06	0,08	0,6	0,12	0,09	0,03

 

Таблица 8.13

pij	0,1	0,3	0,2	0,15	0,05	0,15	0,05

Поясним, например, как получился закон распределения случайной величины ХY. Возможны 7 значений произведений x_i y_j: -1, -2, -3, 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений таковы:

p(XY = -3) = p(X = -1, Y = 3) = p(X = -1)·p(Y = 3) = 0,2·0,1 = 0,02;

p(XY = -2) = p(X = -1, Y = 2) = 0,2·0,3 = 0,06;

p(XY = -1) = p(X = -1, Y = 1) = 0,2·0,4 = 0,08;

p(XY = 0) = p(X = 0 или Y = 0) = p(X = 0) + p(Y = 0) – p(X = 0)×p(Y = 0) =

= 0,5 + 0,2 – 0,5·0,2 = 0,6;

p(XY = 1) = p(X = 1)×p(Y = 1) = 0,3·0,4 = 0,12;

p(XY = 2) = p(X = 1) ×p(Y = 2) = 0,3·0,3 = 0,09;

p(XY = 3) = p(X = 1) ×p(Y = 3) = 0,3·0,1 = 0,03;

Контроль: 0,02 + 0,06 + 0,08 + 0,6 + 0,12 + 0,09 + 0,03 = 1.

Поясним еще, как была вычислена вероятность события {Х² + Y² =5}.

p(Х² + Y² =5)= p(X = -1, Y = 2 или X = 1, Y = 2) = p(X = -1) ×p(Y = 2) +

+ p(X = 1) ×p(Y = 2) = 0,2·0,3 + 0,3·0,3 = 0,15.

8.4.2. Ниже для каждой пары значений (x_i, y_j) дискретных случайных величин Х и Y заданы вероятности p_ij (табл. 8.14). Найти закон распределения суммы Z = Х + Y.

Таблица 8.14

yj xi
-1	0,01	0,06	0,05	0,04
	0,04	0,24	0,15	0,07
	0,05	0,10	0,10	0,09

Решение. Сумма Х + Y принимает следующие значения: -1, 0, 1, 2, 3, 4. Найдем соответствующие вероятности.

p(X + Y = -1) = p(X = -1, Y = 0) = 0,01;

p(X + Y = 0) = p(X = -1, Y = 1) + p(X = 0, Y = 0) = 0,06 + 0,04 = 0,1;

p(X + Y = 1) = p(X = -1, Y = 2) + p(X = 0, Y = 1) + p(X = 1, Y = 0) =

= 0,05 + 0,24 + 0,05 = 0,34;

p(X + Y = 2) = p(X = -1, Y = 3) + p(X = 0, Y = 2) + p(X = 1, Y = 1) =

= 0,04 + 0,15 + 0,1 = 0,29;

p(X + Y = 3) = p(X = 0, Y = 3) + p(X = 1, Y = 2) = 0,07 + 0,1 = 0,17;

p(X + Y = 4) = p(X = 1, Y = 3) = 0,09.

Этот закон распределения (вероятности обозначены ) задан в табл. 8.15.

Таблица 8.15

zк	-1
rк	0,01	0,1	0,34	0,29	0,17	0,09

Контроль: 0,01+ 0,1 + 0,34 + 0,29 + 0,17 + 0,09 = 1.

8.4.3. Две независимые случайные величины Х и Y имеют такие законы распределения (табл. 8.16 и 8.17).

Таблица 8.16 Таблица 8.17

xi						yj	-1
pi	0,3	0,2	0,1	0,4	qj	0,2	0,1	0,7

Построить закон распределения случайной величины Z = min(X, Y).

Решение. Для удобства составления закона распределения случайной величины Z представим ее возможные значения - числа z_ij и вероятности этих значений - произведения в таблицах (табл. 8.18 и 8.19).

 

Таблица 8.18 Таблица 8.19

Z = min(x_i, y_j) p_ij = p_i×q_j.

yj xi	-1				qj pi	0,2	0,1	0,7
	-1			0,3	0,06	0,03	0,21
	-1			0,2	0,04	0,02	0,14
	-1			0,1	0,02	0,01	0,07
	-1			0,4	0,08	0,04	0,28

 

Закон распределения случайной величины Z представлен в табл. 8.20.

 

Таблица 8.20

zi	-1
pi	0,2	0,24	0,16	0,08	0,32

 

Контроль: .