Критерий для проверки гипотезы о сравнении двух дисперсий.

 

Пусть имеются две нормально распределенные генеральные совокупности Х и Y. Из них извлечены независимые выборки объемов соответственно п₁ и п₂, по которым вычислены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется при заданном уровне значимос-ти α проверить нулевую гипотезу Н₀: D(X) = D(Y) о равенстве дисперсий рассматривае-мых генеральных совокупностей. Учитывая несмещенность исправленных выборочных дисперсий, можно записать нулевую гипотезу так:

Н₀: М () = М (). (19.6)

Замечание. Конечно, исправленные дисперсии, вычисленные по выборкам, обычно оказываются различными. При проверке гипотезы выясняется, является ли это различие незначимым и обусловленным случайными причинами (в случае принятия нулевой гипотезы) или оно является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

В качестве критерия примем случайную величину

- (19.6)

- отношение большей выборочной дисперсии к меньшей. Она имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1, где п₁ – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, а п₂ – объем второй выборки. Рассмотрим два вида конкурирующих гипотез:

- пусть Н₁: D(X) > D(Y). Наблюдаемым значением критерия будет отношение большей из исправленных дисперсий к меньшей: . По таблице критических точек распреде-ления Фишера-Снедекора можно найти критическую точку F_набл(α; k₁; k₂). При

F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.

- если Н₁: D(X) ≠ D(Y), то критическая область является двусторонней и определяется неравенствами F < F₁, F > F₂, где р(F < F₁) = р( F > F₂) = α/2. При этом достаточно найти правую критическую точку F₂ = F_кр ( , k₁, k₂). Тогда при F_набл < F_кр нулевая гипотеза принимается, при F_набл > F_кр отвергается.