I. Эмпирическая функция распределения

 

Номер интервала -54,202 -42,971 -48,586 0,02 0,02 0,02 -42,971 -31,739 -37,355 0,02 -31,739 -20,508 -26,123 0,03 0,05 0,03 -20,508 -9,276 -14,892 0,06 0,11 0,06 -9,276 1,955 -3,660 0,17 0,28 0,17 1,955 13,187 7,571 0,14 0,42 0,14 13,187 24,418 18,802 0,21 0,63 0,21 24,418 35,650 30,034 0,12 0,75 0,12 35,650 46,881 41,265 0,08 0,83 0,08 46,881 58,113 52,497 0,09 0,92 0,09 58,113 69,344 63,728 0,05 0,97 0,05 69,344 80,575 74,960 0,03 0,03 Всего

Каждая генеральная совокупность имеет функцию распределения , которая обычно неизвестна. По выборке можно найти эмпирическую функцию распределения .

 

 

Статистическая функция распределения.

Статистической функцией рапределения случайной величины Х называется частота события Х<х в данном статистическом материале

F*(x)=P*(X<x)

Для токо чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина Х приняла значение, меньше чем х, и разделить на общее число n произведенных опытов.

Статистическая функция распределения любой случайной величины – прерывной или непрерывной – представляет собой прерывноую ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. При увеличении числа опытов n, согласно теореме Бернулли, при любомх частота события Х<х приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении n статистическая функция распределения F*(x) прближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения случайной величины Х.

Если Х – непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений n число скачков функции F*(x) увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции F*(x) неограниченно приближается к плавной кривой F(x) – функции распределения величины Х.

5.

6. Числовые характеристики статистического распределения.

Каждой числовой характеристике случайной величины Х соответствует ее статистическая аналогия. Для математического ожидания случайной величины аналогией является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:

где x_i– значение случайной величины, наблюденное в i–м опыте, n– число опытов.

Эта характеристика называется статистическим средним случайной величины.

Согласно закону больших чисел, при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается (сходится по вероятности) к математическому ожиданию. При достаточно большом n статистическое среднее может быть принято приближенно математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов статистическое среднее является случайной величиной, которая, тем не менее, связана с математическим ожиданием и может дать о нем известное представление.

Подобные статистические аналогии существуют для всех числовых характеристик. Будем обозначать эти статстические аналогоии теми же буквами, что и соответствующие числовые характеристики, но снабжать их значком *.

Рассмотрим, например, дисперсию случайной величины. Она представляет собой математическое ожидание случайной величины :

Если в этом выражении заменить математическое ожидание его статистической аналогией – средним арифметическим, мы получим статистическую дисперсию случайной величины Х:

где m_x*=M*[X]– статистическое среднее.

Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков:

Все эти определения полностю аналогичны определениям числовых характеристик случайной величины. С той разницей, что в них везде вместо математического ожидания фигурирует среднее арифметическое. При увеличении числа наблюдений, очевидно, все статистические характеристики будут сходиться по вероятности к соответствующим математическим характеристикам и при достаточном n могут быть приняты приближенно равными им.

Нетрудно доказать, что для статистических начальных и центральных моментов справедливы те же свойства, которые были выведены для математических моментов. В частности, статистический первый центральный момент всегда равен нулю:

Соотношения между центральными и начальными моментами также сохраняются:

При очень большом количестве опытов вычисление характеристик по приведенным выше формулам становится чрезмерно громоздким, и можно применить следующий прием: воспользоваться теми же разрядами, на которые был расклассифицирован статистический материал для построения статистического ряда или гистограммы, и считать приближенно значение случайной величины в каждом разряде постоянным и равным среднему значению, которое выступает в роли «представителя» разряда. Тогда статистические числовые характеристики будут выражаться приближенными формулами:

 

где– «представитель» i-го разряда, p_i*– частота i–го разряда, k – число разрядов.

Как видно, эти формулы полностью аналогичны формулам, определяющим математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты дискретной случайной величины Х, с той только разницей, что вместо вероятностей в них стоят частоты, вместо математического ожидания – статистическое среднее , вместо числа возможных значений случайной величины – число разрядов.