Регулярный, нейтральный и симметричный элементы.

Закон композиции наделяет элементы множества некоторыми общими свойствами. При различных законах одни и те же элементы могут обладить различными свойствами. Поэтому имеет смысл говорить о свойствах элементов множества S относительно заданного на нем закона композиции ┬.

Элемент а называется регулярным, если из соотношений а┬х = а┬у и х┬а = у┬а следует х = у (сокращение на регулярный элемент). Всякое число регулярно относительно сложения. а для умножения регулярно всякое число, кроме нуля (0х = 0у не влечет х = у).

Нейтральным элементом е Î S называют такой элемент, что для всех элементов х Î S справедливо е┬х = х┬е = х (если нейтральный элемент существует, то он единственен и регулярен). Среди чисел нуль - нейтральный элемент относительно сложения, а единица - относительно умножения. Пустое множество является нейтральным элементом относительно объединения, а основное множество (универсум) - относительно пересечения. На множестве всех квадратных матриц п-го порядка с числовыми элементами ну левая и единичная матрицы служат соответственно нейтральными элементами относительно сложения и умножения.

Если множество содержит нейтральный элемент е относительно закона композиции ┬, то элемент b называется симметричным (обратным, противоположным) элементу а, если а ┬ b = b ┬ а = е, при этом а называют симметризуемым элементом и b обозначается через , т.е. . Относительно ассоциативного закона элемент , симметричный элементу а (если он существует), един­ственен и регулярен.

При сложении симметричным некоторому числу х будет -х, а при умножении х^-1. Например, симметричными элементами на множестве квадратных матриц п-го порядка относительно умно­жения являются взаимно-обратные матрицы. Множество всех соб­ственных подмножеств относительно объединения или пересечения не содержит симметричных элементов. Множество, в котором всякий элемент имеет симметричный, называется симметризуемым.