Алгоритм построения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами в соответствии с видом корней характеристического уравнения

1. Записать характеристическое уравнение (5.8).

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Пользуясь правилами 1-3, выписать общее решение уравнения в зависимости от типа корней.

Всякое решение линейного уравнения является частным решением и особых решений оно не имеет.

Пример 5.1. Найти общее решение уравнения: .

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение: .

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Поскольку корни действительные и различные, то по правилу 1 им ставятся в соответствие функции , которые составляют фундаментальную систему линейно независимых решений исходного уравнения. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 5.2. Найти общее решение уравнения:

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

После преобразований это уравнение можно привести к виду:

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1 и 2:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

В пункте 3 нашего решения мы утверждали, что наша фундаментальная система состоит из линейно независимых решений. Проверим, соответствует ли это утверждение действительности.

Проведем доказательство того, что наши частные решения являются линейно независимыми в любом интервале изменения х, от противного, положим, что выполняется тождество:

Разделим это тождество на е^х:

дифференцируем:

Делим на e^-2^x :

и еще раз дифференцируем:

Делим полученное тождество на :

Это тождество может выполняться только при условии:

Отсюда вытекает, что , а это противоречит нашему предположению, что . Следовательно, решения, составляющие фундаментальную систему, являются линейно независимыми. ▲

Пример 5.3. Найти общее решение уравнения:

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

2. Это характеристическое уравнение имеет корни:

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные, причем комплексные корни являются кратными. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1, 2 и 3. Корню соответствует решение , а каждому из двукратных корней и , отвечают решения: Совокупность этих пяти решений - образует фундаментальную систему линейно независимых решений. Следовательно, общее решение запишется так:

.▲