Логические операции над предикатами

 

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказыва­ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката -Р(х) и Q(x).

Определение: Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)LQ{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех зна­чениях х Î М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)LQ(x) является общая часть областей истинно­сти предикатов Р(х) и Q(x), то есть: I_PLQ = Iр Ç Iq . Соответствующая диаграмма имеет вид:

Примеры:

Для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(x): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)LQ(x)

является предикат «х - четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6» и область истинности I_PLQ = I_P Ç I_Q = {2, 4, 6,…,2n, …}Ç {3, 6, 9, 12,…, 3n, …}={6, 12, 18, …, 6n, …}.

Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях х Î М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «истина»во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката Р(х)V Q(x) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть : I_PVQ = Iр È Iq.

Диаграмма :

Пример: Для предикатов Р(х) и Q(x) областью истинности их дизъюнкции является объединение их областей истинности:

I_PVQ = Iр È Iq={2, 4, 6,…,2n, …}È {3, 6, 9, 12,…, 3n, …}={2,3,4,6,…,2n, 3n, …}.

Определение. Отрицанием предиката Р(х) назы­вается новый предикат , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях х Î М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях х Î М, при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что Диаграмма:

Пример: составим предикат : «х – нечетное число», его область истинности:

Определение . Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x)® Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х Î М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном х Î М спра­ведлива равносильность

Диаграмма: области истинности соответствует заштрихованная часть:

 

 

Рассмотрим несколько примеров на нахождение областей истинности предикатов.

1. На множестве М = {1,2,3,4,…,20} заданы предикаты :

А(х): «х не делится на5», В(х): «х- простое число», С(х): «х кратно 3». Найти множество истинности предиката:

Найдем области истинности предикатов А(х), В(х) и - «х не кратно 3»:

I_A = {1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,1,14,16,17,18,19};

I_B = {2,3,5,7,11,13,17,19};

CI_c = {1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20}.

В предикате заменим импликацию :

Предикату соответствует формула алгебры множеств:

 

2.Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна область истинности предиката: а)

Сначала выполним преобразования, рассматривая предикат как высказывание:

Предикату соответствует область истинности, определяемая формулой алгебры множеств:

С(I_АÇI_BÇI_C) .

Диаграмма имеет вид:

Область истинности предиката окрашена серым цветом.

 

Выполним преобразования:

Предикату соответствует область истинности, определяемая формулой алгебры множеств:

CI_PÈI_QÈI_RÇCI_Q = (CI_PÈI_QÈI_R)Ç( CI_PÈI_QÈ CI_Q) = (CI_PÈI_QÈI_R)ÇU = CI_PÈI_QÈI_R. Соответствующая диаграмма:

Область истинности предиката окрашена .

 

3. Записать предикат, полученный в результате логических операций над предикатами P(x), Q(x), R(x), области истинности которых заштрихованы:

 

 

IP

IR

 

Так как область истинности I= C(I_PÈI_QÈI_R)ÈI_QÇI_RÈI_RÇI_P , то предикат имеет вид

4. Изобразить на координатной плоскости область истинности предиката

Выполним преобразования:

Область истинности предиката х £ 2 - часть плоскости, расположенная левее прямой х = 2 и все точки этой прямой (изобразим ее сплошной линией). Область истинности предиката x < y – часть плоскости, расположенная выше прямой у = х без этой прямой (изобразим ее пунктирной линией). Область истинности данного предиката – пересечение описанных областей истинности:

 

 

б) ((х>2)(y³1))V((x<-1)(y<-2)). Составим соответствующую формулу алгебры множеств, обозначив (x>2)= P(x,y), (y³1)= Q(x,y), (x<-1)= R(x,y), (y<-2)= S(x,y):

I= I_PÇI_QÈI_RÇI_S. Область истинности заштрихована:

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Для следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности, если область определения для одноместного М=R, для двухместного M=R² :

1) х+5=1;

2) при х=2 выполняется равенство х² – 1 = 0;

3) существует такое число х, что х² – 2х + 1 =0;

4) х² – 2х + 1 =0;

5) х+2<3x – 4;

6) однозначное число х кратно 3;

7) (х+2)-(3х-4);

8) х² + у² >0.

 

2. Какие из предикатов тождественно истинны?

a. х² + у² ³ 0;

b. sin²x + cos²x =1;

c. x² + 1³(x+1)²;

d. х² + у² > 0;

e. (x+1)²>x-1.

 

3. Найти области истинности предикатов, если хÎR:

4. Изобразить на декартовой плоскости области истинности предикатов:

1) х+у=1;

2) х+3у=3;

3) sinx=siny;

4) (x-2)²+(y+3)²=0;

5) (x-2)²+(y+3)²£4;

6) ((x>2)v(y>1))((x<-1)v(y<-2)).

 

5.На множестве М = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} заданы предикаты А(х): «х не делится на 5», В(х): «х – четное число», С(х): «х кратно 3». Найти множество истинности предиката: А(х)VB(x)®C(x).

6. Изобразить на диаграмме Эйлера -Венна область истинности предиката: (P(x)®Q(x))VR(x)

7. Записать предикат, полученный в результате логических операций над предикатами P(x), Q(x), R(x):

 

 

9. Будут ли предикаты равносильны, или один является следствием другого?

 

Контрольные вопросы

 

1. Структура простого высказывания.

2. Определение одноместного предиката.

3. Область истинности одноместного предиката.

4. Определение тождественно истинного (тождественно ложного) предиката.

5. Определение двухместного предиката.

6. Определение n – местного предиката.

7. Какие предикаты являются равносильными? В каком случае предикат Р(х) является следствием предиката Q(x)?

8. Перечислить логические операции над предикатами и показать области истинности на диаграммах Эйлера- Венна.