Мультипликативный метод аналитической иерархии

Мультипликативный АНР, предложенный профессором Ф. Лутсмой [4,5], имеет другое методологическое обоснование.

В основу метода положены два основные положения. Во-первых, если ЛПР определяет отношения (а не абсолютные значения) двух элементов соответствующего уровня иерархии, то более логично перемножать такие отношения, чем суммировать значения, полученные из сравнений. Во-вторых, переход от вербальных сравнений к числам должен происходить на основе некоторых предположений о поведении человека при сравнительных измерениях.

Начнем со второго положения. В психофизике [6] изучается, как человек (без приборов) производит измерения объективных физических величин, таких как вес, громкость звука, яркость света и т.д. Результаты экспериментов показывают, что связь между субъективными измерениями двух стимулов и отношениями самих стимулов может быть представлена универсальным степенным законом:

где S 1 , S 2 — стимулы; f ( S i ) — субъективное измерение стимула; ? — положительная постоянная; для звуковых сигналов 1000 Гц она приблизительно равна 0,3.

В качестве одного из примеров Ф. Лутсма приводит измерение громкости звука [6] в децибелах, как это принято в акустике. Пусть S 0 - интенсивность звука, взятая в качестве опорной. Тогда

где dB ( S ) — интенсивность звука в децибелах по отношению к базовой интенсивности S 0 .

Разность 10 дБ между интенсивностями звуков S 1 и S 2 может быть записана как dB ( S 1 ) – dB ( S 2 ) = 10. Откуда следует :

Иначе говоря, при увеличении интенсивности звука на 10 дБ расстояние на шкале субъективных измерений удваивается.

Ф. Лутсма предлагает аналогичным способом строить шкалы для субъективного измерения различных факторов при принятии решений. Так, при покупке автомобиля одним из важных критериев является цена. Предлагается установить значения C min и С шах — диапазоны цен, реальных для покупателя. Интуитивно мы делим этот диапазон на несколько интервалов, определяющих существенные для человека различия в уровнях цен. Известный в психофизике закон Вебера утверждает, что субъективное расстояние между двумя стимулами пропорционально величине стимула. Тогда

где C j , C j -1 — субъективные восприятия различных цен; k — постоянная. Таким образом,

Итак, мы получили шкалу с геометрической прогрессией, с фактором прогрессии (1+ k ). Удобно ввести параметр шкалы p = ln ( l + k ), что позволяет определить деления шкалы как

Можно представить, что для цен на автомобили используется вербальная шкала следующего вида:

• дешевый;

• немного более дорогой;

• более дорогой;

• существенно более дорогой.

К этим четырем категориям можно добавить промежуточные и получить шкалу из 6—9 категорий с фактором прогрессии exp (1 p )= l + k , равным приблизительно 2.

В общем случае переход от вербальных сравнений к числам задается шкалой, показанной в табл. 5.11.

Таблица 5.11 Шкала относительной важности

	Уровень важности		Количественное значение
Sj	Намного превосходит	Si	-6
Sj	Строго превосходит	Si	-4
Sj	Превосходит	Si	-2
Sj	Примерно равно	Si
Sj	Превосходит	Sj
Si	Строго превосходит	Sj
Si	Намного превосходит	Sj

Итак, мультипликативный метод АНР предлагает выполнение следующих этапов.

1. Первичное измерение с помощью словесной шкалы; осуществление сравнения на всех уровнях иерархий.

2. Перевод результатов в количественный вид с помощью геометрической шкалы; обозначаем результат измерения ? t ij при сравнении элементов i и j по критерию t .

3. Определение баллов, отражающих сравнительные оценки важности альтернативы А i по сравнению с альтернативой A j по критерию t , с помощью преобразования r t ij = exp ( p ? t ij ). Таким образом, осуществляется переход от матрицы попарных сравнений, заполненной с использованием геометрической шкалы, к матрице субъективной относительной важности элементов иерархической схемы.

4. Подсчет коэффициентов важности альтернатив по критерию i . Сначала определяется геометрическое среднее каждой из строк в матрице субъективной относительной важности элементов иерархической схемы - w i ( A j ) , где j =1,2,…, n . Затем эти показатели нормируются:

5. Определение аналогичным способом нормированных весов w i на другом уровне иерархической схемы.

6. Определение ценности каждой из альтернатив с использованием мультипликативной формулы:

Приведем пример расчета ценности альтернатив по мультипликативному методу АНР. Имеются те же четыре альтернативы: А, В, С, D — варианты постройки аэропорта. Пусть предпочтения между альтернативами оценены по вербальной шкале с шестью градациями: выбираем р=0,7. Коэффициенты важности альтернатив по критериям подсчитываются в табл. 5.12 — 5.15.

Таблица 5.12 Сравнение по критерию C 1

Альтернатива	А	В	С	D	Среднее геометрическое	Вес
А		-4 0,06	-6 0,014	-8 0,004	0,043	0,003
В	16,44		-2 0,25	-4 0,06	0,7	0,05
С	66,69	4,06		-2 0,25	2,87	0,19
D	270,4	16,44	4,06		11,59	0,757

Таблица 5.13 Сравнение по критерию С 2

Альтернатива	А	B	С	D	Среднее геометрическое	Вес
А			-8	0,004	-4	0,06	-6	0,014	0,043	0,004
В		270,4				4,06	1,5	2,85	7,48	0,65
С		16,44	-2	0,25			-1,5	0,35	1.1	0,096
D		66,69	-1,5	0,35	1,5	2,85			2,86	0,25

Таблица 5.14 Сравнение по критерию С 3

Альтернатива	А	В	С	D	Среднее геометрическое	Вес
А				4,06		16,44	270,4	11,59	0,757
В	-2	0,25				4,06	66,69	2,87	0,19
С	-4	0,06	-2	0,25			16,44	0,7	0,05
D	-8	0,004	-6	0,014	-4	0,06		0,043	0,003

В клетках таблиц представлены численное выражение вербальной сравнительной оценки (левый верхний угол) и значение r k ij (правый нижний угол).

Таблица 5.15 Сравнение критериев по важности

Критерий	С 1	С 2	С 3	Вес критерия
C 1				0,8
C 2	-4			0,12
С 3	-2	-2		0,08

Аналогичным образом вычисляем веса критериев (табл. 5.15). Определяем ценности альтернатив:

V ( A )=(0.003) 0 . 8 +(0.004) 0 . 12 + (0.757) 0 . 08 =1.51

V ( B )= 1.916; V ( C ) = 1.807; V ( D ) = 2.278.

Получаем следующее упорядочение альтернатив по ценности:

D => B => C => A .

Итак, альтернатива D оказалась лучшей.

Мультипликативный метод аналитической иерархии реализован в виде системы поддержки принятия решений REMBRANDT [7].