Понятие о комплексных числах

Комплексными числами называются выражения вида

, (8.1)

где – действительные числа, – специальный символ (мнимая единица). Числа вида отождествляются с действительными числами, в частности, . Числа вида называются чисто мнимыми.

Действительные числа и называются соответственно действительной и мнимой частями числа и обозначаются следующим образом: , .

На множестве комплексных чисел введены понятие равенства и арифметические операции по следующим правилам:

1. Пусть и . Тогда

В частности, .

2. .

3. .

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

Правило 3 получается формально путем умножения двучленов и , если произведение заменить на –1.

4. ().

Действия над комплексными числами обладают такими же свойствами, которыми обладают одноименные действия над действительными числами: сложение и умножение обладают свойствами перестановочности и сочетательности, сложение с умножением связаны свойством распределительности. Все это легко выводится из правил 1–4.

Число называется сопряженным к комплексному числу .

Если , то есть положительное действительное число.

Комплексное число естественно изобразить точкой на плоскости, приняв числа и за ее координаты. При этом каждому комплексному числу соответствует точка и каждой точке плоскости соответствует некоторое комплексное число. Действительные числа изображаются точками с равными нулю ординатами, т.е. точками, лежащими на оси абсцисс. На оси ординат располагаются изображения чисто мнимых чисел . Началу координат соответствует число 0. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексной переменной, или комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат – мнимой осью в соответствии с наименованиями чисел, изображения которых лежат на этих осях.

Наряду с изображением комплексных чисел точками на плоскости удобно с каждым комплексным числом связать вектор, исходящий из начала координат в точку, изображающую это число (т.е. радиус-вектор этой точки). Длина r радиуса-вектора точки, равная расстоянию от этой точки до начала координат, называется модулем этого числа и обозначается . Ясно, что и равенство нулю возможно только в том случае, когда . Угол, образованный радиусом-вектором точки с положительной полуосью Ох (отсчитываемый против часовой стрелки), называется аргументом этой точки.
Здесь . Для нулевой точки аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение называется главным значением и обозначается через , .

Если на плоскости ввести полярные координаты (r, j), то

, .

В силу этого комплексное число можно записать в форме

. (8.2)

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Пусть и . Тогда

Таким образом, в тригонометрической форме записи имеет модуль r₁r₂ и аргумент , т.е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей и аргумент произведения (точнее, одно из значений аргумента) равен сумме аргументов сомножителей. Эти правила распространяются на произведение любого конечного числа сомножителей.

Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т.е.

. (8.3)