Полярные координаты

Для определения положения точки на плоскости, кроме рассмотренной выше декартовой системы координат, достаточно часто применяется полярная система координат.

Пусть на плоскости даны некоторая точка О (назовем ее полюсом) и проходящая через нее ось ОР (назовем ее полярной осью), а также указана единица масштаба. Будем определять положение произвольной точки М плоскости по отношению к полюсу и полярной оси. Назовем полярным радиусом точки М ее расстояние r = ОМ от полюса и полярным углом точки М угол j между полярной осью и направленным отрезком ; условимся, кроме того, угол j брать в границах . Тогда, очевидно, каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел r, j (исключением является полюс, для которого r = 0, а j произвольно). Обратно, каждой паре чисел r, j () соответствует единственная точка плоскости, для которой r является полярным радиусом, а j – полярным углом. Полярный радиус и полярный угол точки будем называть ее полярными координатами. Полярные координаты условимся записывать в скобках после буквы, обозначающей точку, указывая сначала r,
а потом j: М(r, j).

Можно установить связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки. Пусть даны декартова система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью абсцисс. Обозначим через х и у декартовы координаты произвольной точки М, через r и j – ее полярные координаты. Тогда

(7.1)

Полученные формулы выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Чтобы найти полярные координаты точки, зная ее декартовы координаты, возведем обе части каждого из равенств (7.1) в квадрат и затем сложим их почленно. Получим:

т.е. , откуда

. (7.2)

Далее, из равенств (7.1) получим:

(7.3)

По формуле (7.3) определяется тангенс полярного угла j; при этом получаются два значения j (напомним, что ), лежащие в разных четвертях. Так как , то из этих двух значений угла j нужно выбрать то, для которого синус имеет тот же знак, что и у.

Пример. Даны декартовы координаты точки М: . Найти полярные координаты этой точки.

○ По формулам (7.2) и (7.3) имеем:

.

Из двух значений и нужно взять , так как в данном случае должен иметь отрицательный знак.

Итак, полярные координаты данной точки . ●