Второй метод Лагранжа.
Рассматривается система (1)
Теорема 1:
Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:
1) , причём лишь при , .
2) , при , то точка покоя системы (1) устойчива.
Производная в условии 2) взята вдоль интегральных кривых системы (1).
Доказательство:
Поверхности уровня в окрестности точки покоя, которая является точкой строгого минимума, являются замкнутыми и окружают точку покоя.
Рассмотрим поверхность уровня , которая целиком лежит в окрестности, т.е. , но не проходит через начало координат. Выберем окрестность так, чтобы окрестность целиком лежала внутри поверхности . Если начальная точка с координатами , находилась в окрестности, то , то при точка траектории, которая проходит через точку не выйдет за пределы окрестности начала координат в силу условия 2) теоремы.
Теорема 2: (т. Ляпунова для ассимптотичной устойчивости)
Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая следующим условиям:
1) имеет строгий минимум в начале координат .
2) производная функция , вычисляемая вдоль интегральных кривых системы (1):
, причём вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где постоянная, то точка покоя , системы (1) асимптотически устойчива.
Доказательство:
Условия теоремы выполнены, то если можно выбрать , что траектория, начальная точка которой не выйдет из окрестности начала координат.
Вдоль траектории функция монотонно убывает с возрастанием . Следовательно, существует
Надо показать, что . Откуда будет следовать, что , .
Первое условие теоремы только в начале координат.
Допустим, что .
Тогда возьмём за окрестность, но здесь , проинтегрируем это неравенство от до :
или
При достаточно большом правая часть отрицательна и , следовательно, , что противоречит условию 1).
Пример 1:
,
1) ,
2)
Решение , асимптотически устойчиво.
Пример 2:
,
1) ,
2)
Решение , асимптотически устойчиво.
Исследование проблемы устойчивости по первому приближению.
При исследовании на устойчивость точки покоя , системы (1), где дифференцируемая окрестности начала координат функция.
Применяется следующий метод:
Систему (1) представляют в окрестности начала координат:
, (2)
Система , (3)
Называется системой первого приближения для системы (1).
Теорема 3:
Если система (2) стационарна в первом приближении, все числа , в достаточно малой окрестности начала координат при удовлетворяют неравенствам:
, где и постоянные.
и все корни характеристического уравнения:
(4)
имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение, системы (1) асимптотически устойчиво.
Теорема 4:
Если система (2) стационарна в первом приближении, все функции , удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4) имеет положительную действительную часть, то точка покоя , системы (2) неустойчива.
В критическом случае, когда действительная часть и хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость начинают влиять нелинейные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.
Пример 1:
Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 3. и 4. Исследуем на устойчивость точку покоя , .
,
,
Решение , неустойчиво.
Пример 2:
Разлагая по формулам Тейлора, получим:
, ,
где удовлетворяют теоремам 4. и 5.
,
Решение , асимптотически устойчиво.