Вычисление длин дуг плоских кривых.
Пусть дана плоская кривая (рис. 10.1), уравнение которой , , где — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Разобьем отрезок точками , на частей равной длины. Через точки деления проведем прямые, параллельные оси ординат . Точки пересечения этих прямых с кривой обозначим через . Соединив эти точки хордами, получим ломаную , вписанную в кривую . Пусть периметр этой ломаной равен . Длиной дуги будем называть число , равное пределу последовательности периметров :
Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной . Точка с координатами и и точка с координатами и являются концами го звена ломаной. Длину го звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости:
. (10.3)
Учитывая, что – непрерывная дифференцируемая функция на отрезке ,по формуле Лагранжа имеем
, (10.4)
где — некоторая точка интервала . Подставив выражение (10.4) в формулу (10.3), получим:
, (10.5)
где . Значит, периметр ломаной равен следующей сумме:
.
Получили интегральную сумму для непрерывной функции на отрезке . Так как предел этой суммы при n → ∞ существует, то согласно определению находим
.
Таким образом,