Вероятностная оценка степени финансового риска

Остановимся на вероятностной оценке степени финансового риска.

Рассмотрим некоторую компанию А. Предположим, что мы покупаем акции этой компании по цене 100 у.е. за акцию и наме­реваемся владеть ими в течение года. Совокупную ставку доход­ности (или просто доходность) можно представить как сумму двух компонентов: дивидендной доходности и доходности в результа­те изменения курса акций:

Предположим, что купив акции А мы рассчитываем, что ди­видендный компонент будет равен 3%, ценовой компонент соста­вит 7%, так что ожидаемая ставка доходности будет равняться 10%:

Широко используемая единица измерения рискованности ак­тивов акции — это изменчивость (volatility). Изменчивость связа­на с диапазоном возможных ставок доходности акций и вероят­ностью их получения. Чем шире диапазон между возможными показателями доходности и чем больше вероятность получения экстремальных значений, тем выше показатель изменчивости акции.

Например, если нас попросят дать «точечную оценку» доход­ности акций А в следующем году, то наш ответ будет 10%. При этом нас не удивит, если окажется, что реальная доходность ока­залась больше или меньше предсказанной нами. Доходность мо­жет быть как очень низкой (-50%), так и очень высокой (+50%). Чем сильнее расхождение межу возможными показателями доход­ности, тем сильнее изменчивость.

Чтобы лучше понять суть изменчивости, рассмотрим распре­деление вероятностей получения разных уровней доходности для акций А. Всем возможным уровням доходности соответствуют ве­роятности от нуля (полное отсутствие вероятности достижения этого уровня) до единицы (данная доходность будет получена обя­зательно).

Предположим, что нам абсолютно точно известно, что в бу­дущем году доходность составит 10%. В этом случае имеется толь­ко один возможный уровень доходности, и вероятность его дос­тижения равна 1,0.

Теперь допустим, что в зависимости от состояния экономики акции А могут принести разную доходность. Если в будущем году экономика будет на подъеме, объемы продаж и прибыль компании будут повышаться, а значит, и ставка доходности ин­вестиций в акции А будет равна 30%. Если в экономике будет спад, то ставка доходности составит (-10%), т.е. акционер поне­сет убытки. Если экономическое положение просто останется не­изменным, фактическая доходность составит 10%. Оценка вероятности для каждого из этих состояний в нашем гипоте­тическом примере показана в табл. 4.8 и проиллюстрирована рис. 4.15.

Распределение вероятности в табл. 4.8 означает, что если мы вложим деньги в акции А, то получим, скорее всего, 10%-ную доходность. Вероятность этого в три раза превышает вероятность получения двух других значений доходности — 10% и 30%.

Таблица 4.8 Распределение вероятностей ставок доходности акций

Состояние экономики	Ставка доходности акций А	Вероятность
Подъем	30%	0,20
Нормальное	10%	0,60
Спад	-10%	0,20

 

Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, ум­ноженных на соответствующую вероятность их получения:

Применив эту формулу к рассматриваемому случаю, мы об­наружим, что ожидаемая ставка доходности акций А равна:

Очевидно в этом случае, мы сильнее сомневаемся в том, ка­кой же будет ставка доходности, чем в случае полной определен­ности.

Рис. 4.15. Распределение вероятностей доходности

 

А теперь рассмотрим другой пример. Акции некоторой ком­пании В, у которых диапазон вероятностных показателей доход­ности еще шире, чем у акций А. Распределение вероятности акций А сравнивается с распределением вероятности акций В в табл. 4.9 и на рис. 4.16.

Таблица 4.9

Распределение вероятностен доходности акций А и В

Состояние	Ставка	Ставка	Вероятность
экономики	доходности	доходности
	акций В	акций А
Подъем	50%	30%	0,20
Нормальное	10%	10%	0,60
Спад	-30%	-10%	0,20

 

Следует обратить внимание, что показатели вероятности оди­наковы для обеих акций, но у В более широкий диапазон колеба­ний доходности. Если экономика будет находиться на подъеме, акции В принесут своим акционерам 50% доходности, а акции А только 30%. Но, если экономическое положение ухудшится, до­ходность акций В упадет до -30%, а акций А — только до -10%. Другими словами, показатели доходности инвестиций в акции В

(%)

Рис, 4.16. Распределение вероятностей доходности акций А и В

 

изменяются более сильно, а, следовательно, они являются более рискованными.

Как было отмечено ранее, изменчивость показателей доходно­сти акций зависит от их возможного диапазона и от вероятности появления экстремальных значений. Для того, чтобы рассчитать и измерить изменчивость в распределении вероятностей получения возможных показателей доходности, в финансах чрезвычайно ши­роко используется среднее квадратическое отклонение а (стандар­тное отклонение), которое определим как

(4.9.2)

где математическое ожидание (среднее значение) равно:

(4.9.3)

Чем больше стандартное отклонение, тем выше показатель изменчивости акций.

Для акций А и В имеем

Стандартное отклонение для акций А равно: ^

Стандартное отклонение для акций В равно:

Стандартное отклонение для акций В в два раза больше, чем для А, поэтому возможное отклонение от среднего значения в два раза превышает тот же показатель у акций А.

В реальном мире диапазон показателей доходности акций не ограничен несколькими значениями, как в нашем примере, и до­ходность может принимать практически любое значение. Поэто­му мы можем сказать, что распределение доходностей акций пред­ставляет собой непрерывное распределение вероятностей. Чаще всего используется один из видов непрерывного распределения вероятностей — нормальное распределение, которое представля­ет собой кривую, показанную на рис. 4.16.

Более подробно о нормальном распределении мы поговорим в следующей главе.

Для нормального и прочих, похожих на него, симметричных распределений стандартное отклонение — естественная единица измерения изменчивости. Термины: изменчивость и стандартное отклонение часто используются как взаимозаменяемые.

Нормальное распределение охватывает неограниченное коли­чество значений доходности, от «минус бесконечность» до «плюс бесконечность». Для интерпретации различных значений стандар­тного отклонения обычно используется доверительный интервал

(4.9.4)

которым обозначается определенный диапазон значений (интер­вал), в пределах которого фактическая доходность акций попадет с заданной вероятностью.

Здесь X (r_i) — нормальная случайная величина с математичес­ким ожиданием E(r_i) и средним квадратическим отклонением σ, a t — некоторый параметр. При t = 3 вероятность попадания слу­чайной величины X(r_i) в интервал (4.9.4) практически равна еди­нице.

Из формулы (4.9.4) следует, что при нормальном распределе­нии доходность акции, которая находится в пределах доверитель­ного интервала, включающего все значения доходности, находя­щиеся в рамках одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего значения, имеет вероятность порядка 0,68. Соответству­ющий доверительный интервал для двух стандартных отклонений имеет вероятность порядка 0,95, а доверительный интервал для трех стандартных отклонений имеет вероятность порядка 0,99.

Рассмотрим, например, акции с ожидаемой доходностью в 10% и стандартным отклонением в 20%. При нормальном распределе­нии существует вероятность, равная примерно 0,95, что фактичес­кая доходность попадет в интервал, ограниченный с одной сторо­ны ожидаемой доходностью и двумя стандартными отклонениями (10% + 2 • 20% = 50%), а с другой стороны — ожидаемой доходнос­тью минус два стандартных отклонения (10% - 2 * 20% = -30%). Диапазон доходности, который ограничен минимальным значе­нием -30% и максимальным значением 50%, с вероятностью 0,95 представляет собой доверительный интервал для доходности дан­ных акций.

Еще одним полезным показателем, применяемым при анализе финансовых рисков, является коэффициент вариации:

В отличие от стандартного отклонения и коэффициент вариа­ции V — относительный показатель, он определяет степень риска на единицу среднего дохода.

В случае одинаковых или нулевых средних значений доходно­сти вычисление этого показателя теряет смысл. Очевидно, что при равных средних, чем больше величина стандартного отклоне­ния а, тем больше коэффициент вариации и тем больше риск. Оп­ределение коэффициентов вариации особенно полезно в тех слу­чаях, когда средняя доходность сравниваемых операций суще­ственно различается.

Рассмотрим следующий пример. Ожидаемая доходность по акциям фирм А и В равна 45% ± 15% и 8% ± 4% соответственно. Определить степень риска операций с данными акциями.

Согласно значениям стандартных отклонений, разброс доход­ности по акциям фирмы А значительно выше, следовательно, ее акции должны бы быть более рисковыми. Определим коэффици­енты вариации:

Однако расчеты показывают, что степень риска на среднюю единицу дохода выше у фирмы В. Какая же операция связана с большим риском?

На рис. 4.17 приведены графики плотностей распределения вероятностей для доходности по акциям обеих фирм.

На первый взгляд критерии явно противоречат друг другу, хотя интуитивно понятно, что вероятность получения нулевого либо от­рицательного дохода по акциям фирмы В гораздо выше (рис. 4.17). Проведенный расчет показал, что соответствующие вероятности равны 2,3% для акций В и всего 0,13% для А.

Воспользуемся правилом трех сигм (4.9.4). Нетрудно заметить, что для акций фирмы В нулевое значение доходности попадает в диапазон (а - 2сг)> а отрицательное — в (а - За). Тогда как по ак­циям фирмы А получение нулевой доходности возможно лишь в крайнем случае — (а - Зет), а вероятность получения отрицатель­ной доходности практически равна 0, поскольку средняя доход­ность очень высока и в 3 раза превышает величину стандартного отклонения.

 

 

Плотность распределения вероятностей

Приведенный пример демонстрирует преимущества примене­ния коэффициента вариации в случаях, когда средние доходности значительно различаются.

Закон нормального распределения вероятностей широко ис­пользуется в процессе анализа рисков финансовых операций. Его важнейшие свойства, такие, как симметричность распределения относительно средней, ничтожно малая вероятность больших от­клонений значений случайной величины от центра ее распределе­ния, правило трех сигм, позволяют существенно упростить про­ведение анализа и выполнение сопутствующих расчетов.

Однако далеко не все финансовые операции предполагают нормальное распределение доходов. Например, распределения вероятностей получения доходов от операций с производными фи­нансовыми инструментами (опционами, фьючерсами) часто ха­рактеризуются асимметрией (скосом) относительно математичес­кого ожидания случайной величины.

Так, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владель­цу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной доходности. По сути опцион на покупку отсекает распределение доходности в той точке, где начинаются потери.

На рис. 4.18 приведен график плотности распределения веро­ятностей с положительной (правой) асимметрией.

Нетрудно заметить, что точка максимума функции плотности распределения соответствует доходности в 14% и не совпадает с ожидаемым значением (20%). В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (средней и стандарт­ного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стан­дартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных распределениях, так как при этом игнорируется тот факт, что большая часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую), или «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности.

Помимо среднего значения и стандартного отклонения, асим­метричные распределения часто требуют знания дополнительных параметров и, в частности, коэффициента асимметрии.