Диффузия в область ограниченных размеров

Большая часть приведенных выше основных соотношений (например, формула Пуассона) применимы только к описанию процессов диффузии в неограниченном пространстве. Нередко встречаются и ситуации, когда легируемый объект имеет ограниченные размеры. Например, в одномерном варианте пластина может иметь толщину, сопоставимую с характеристической длиной диффузии. Один из возможных подходов к решению подобных задач состоит в том, чтобы соответствующим образом дополнить этот объект до бесконечного пространства. Такое дополнение должно вестись с соблюдением условий на границах раздела и, конечно, будет содержать бесконечно большое количество дополняющих областей. Естественно, что решение будет представляться бесконечным, однако, во многих случаях быстро сходящимся рядом. Например, диффузия из одномерного точечного источника мощностью Q, расположенного на одной из сторон пластины конечной толщины H с отражающими границами, в результате таких дополнений будет представлять собой бесконечную совокупность источников мощностью 2Q, расположенными на расстоянии 2H (рис. 3.9).

Соответствующее распределение примеси можно записать в форме:

(3.43)

где суммирование должно выполняться по всем n1. Такой ряд целесообразно использовать в тех случаях, когда L лишь в несколько раз превосходит H. Если L>>H, то более быструю сходимость обеспечит решение, получаемое методом разделения переменных, который рассматривается в курсе математики.