Векторные дифференциальные операции второго порядка.
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка.
диф. операции 1-го порядка диф. операции 2-го порядка
U(M) | grad U(M) | div grad U(M) | ||
rot grad U(M) | ||||
div | grad div | |||
div rot | ||||
rot | rot rot |
Существует пять дифференциальных операций второго порядка. Запишем некоторые формулы для дифференциальных операций 2-го порядка:
1. div grad U=
Наряду с оператором Гамильтона в векторном анализе и его приложениях используется оператор Лапласа, обозначаемый символом ∆. Оператор Лапласа определен следующей формулой - или .
Выражение для div grad U можно записать следующим образом
div grad U=
2. Применяя оператор Гамильтона легко получить , т.к. векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю. Это означает, что поле градиента есть безвихревое поле.
3. , т.к. смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря – соленоидальное, не имеет источников и стоков.