Полная проверка прочности

В предыдущих параграфах этой главы были получены формулы для вычисления σ и τ при плоском изгибе балки.

Пусть в поперечном сечении произвольной балки действуют положительная поперечная сила Q и изгибающий момент M. На рис. 5.25,б и 5.25,в показаны графики σ и τ по высоте массивного сечения, а на рис. 5.25,а изображен фасад балки и напряженное состояние в ряде точек по высоте балки. Одна из граней элементарных кубиков совпадает с поперечным сечением. На рис.5.25,г показано сечение А-А и выделенные в нём элементы. Элементы 1 и 2 выделены у крайних точек сечения. Здесь τ = 0, σ = σ_max или σ = σ_min.

Элемент 3 выделен у точек нейтрального слоя, где σ = 0, τ = τ_max:

Элементы 4 и 5 выделены у произвольных точек балки, здесь действуют и σ, и τ.

Таким образом, при поперечном изгибе материал балки находится в неоднородном плоском напряжённом состоянии. Условие прочности должно быть записано для опасной точки балки. Опасной будет одна из следующих трёх точек:

а) точка, где нормальное напряжение достигает наибольшей величины;

б) точка, где касательное напряжение достигает наибольшей величины;

в) точка, где σ и τ, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т.е. наибольшее расчётное напряжение по принятой теории прочности.

а б в г

Рис.5.25

Необходимо записать три условия прочности. Первая точка расположена в крайних волокнах сечения, где изгибающий момент имеет наибольшее значение (элементы 1 и 2). Напряжённое состояние в этой точке линейное и условие прочности запишется в виде (5.20)

Вторая точка будет находится на нейтральной линии того сечения, где поперечная сила имеет наибольшее значение (элемент 3). В такой точке наблюдается чистый сдвиг и поэтому условие прочности примет вид (5.40)

Что касается третьей точки, то положение её не столь определённо. Но где бы она ни была выбрана, в ней будет плоское напряжённое состояние (элементы 4 или 5), при котором главные напряжения рассчитывают по формулам (3.18). В нашем случае σ_х = σ, σ_у = 0, τ_ху = τ и поэтому главные напряжения рассчитываются по формулам (3.18)

σ₂ = 0, (5.41)

Внося эти величины в выражения для расчётных напряжений по III-й (наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности (3.49) и (3.52), получаем условия прочности

, (5.42)

. (5.43)

Практика применения и расчёта балок показала, что в подавляющем большинстве случаев опасной является крайняя точка того сечения, где M = M_max. Подбор сечения балки всегда необходимо производить из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20).

Проверку прочности по касательным напряжениям по формуле (5.40) необходимо делать только для балок из тонкостенных профилей.

И, наконец, проверку прочности по главным напряжениям по формулам (5.42) или (5.43) необходимо делать только в случае одновременного выполнения следующих двух условий:

1) балка сделана из тонкостенного профиля с резким переходом от полки к стенке (двутавр, швеллер, коробка);

2) на балке имеется сечение, где Q и M одновременно максимальные или их значения близки к максимуму.

Расчёт по всем трём указанным условиям называется полной проверкой прочности. Приведём её пример.

Рис.5.26

Рассмотрим балку, изображённую на рис.5.26. Необходимо подобрать двутавровое сечение, заданы допускаемые напряжения:

[σ] = 16 кН/см², [τ] = 8 кН/см².

Найдём опорные реакции

å М_А = 0: – q ∙ 3 ∙ 1,5 + 3R_B – 4P = 0,

å y = 0: R_A – q ∙ 3 + R_B – P = 0, R_B = 80 ∙ 3 – 200 + 60 = 100 кН.

При построении эпюр Q и M не будем составлять уравнения по участкам, а воспользуемся рекомендациями п.5.3.

Сначала вычислим значения Q в характерных сечениях: у опоры А: Q = R_A = 100 кН (при этом закрываем правую часть балки); далее Q уменьшается и у опоры B становится равной Q = R_A – q ∙ 3 = 100 – 80 ∙ 3 = – 140 кН; в сечении около силы P: Q = P = 60 кН (при этом закрываем левую часть балки); отодвигаем это сечение влево до опоры B – Q не меняется. Эпюра Q построена.

Помним, что момент M равен площади предшествующей эпюры Q. На шарнирной опоре A: M = 0. Далее при движении от опоры A вправо при положительной Q момент возрастает и в точке, где Q пересекает ноль, M = M_max = площади треугольника на эпюре Q. Один катет треугольника известен 100 кH, второй – х₀ = Q/q = 100/80 = 1,25 м, M_max = ½ ∙ 100 ∙ 1,25 = 62,5 кН ∙ м. Затем момент уменьшается на площадь отрицательного треугольника: M_max = 62,5 – ½ ∙ 140 ∙ 1,75 = – 60 кН ∙ м. Далее момент возрастает на площадь положительного прямоугольника: М = –60+60 ∙ 1=0. Действительно, в сечении около силы P момент должен быть равен нулю. Эпюра M построена.

1. Подберем двутавр из условия прочности по нормальным напряжениям (5.20):

В числителе момент переводим из кН×м в кН×см и поэтому умножаем на 100. По сортаменту прокатной стали «Балки двутавровые (ГОСТ 8239-72)» находим двутавр № 27а: W_z = 407 см³.

2. Проверим прочность по касательным напряжениям по формуле (5.40):

следовательно, прочность не обеспечена. Возьмем следующий по сортаменту двутавр – № 30 и проверим его прочность:

Хотя напряжения превышают величину допускаемых, прочность можно считать обеспеченной, т.к. превышение менее 5%:

3. Проверим прочность по главным напряжениям, т.к. имеется сечение, где Q и M одновременно близки к максимальным значениям. На опоре B: Q = 148 кH, M = 60 кH×м. На рис. 5.27 показан двутавр №30 и графики напряжений (уклоном полки в двутавре пренебрегаем и считаем, что полка имеет постоянную, указанную в сортаменте, толщину t).

В точке С под полкой:

Pис.5.27 Pис.5.28

Проверим прочность по III-й теории прочности по формуле (5.42)

Прочность не обеспечена, т.к. перенапряжение превышает 5%:

Возьмём следующий по сортаменту двутавр № 30а и проверим его прочность в точке С (рис.5.28):

Прочность обеспечена, т.к. перенапряжение незначительно

Итак, принимаем двутавр № 30а; прочность балки лимитируется не наибольшим нормальным напряжением и не наибольшим касательным напряжением, а напряжённым состоянием в точке перехода от полки к стенке.