Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z₁, y₁.

Рис.4.8

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z₁ = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y₁ = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

,

,

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

J_z1 = J_zcos²α + J_ysin²α – J_zysin 2α,

J_y1 = J_zsin²α + J_ycos²α + J_zysin 2α, (4.15)

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

J_z1 + J_y1 = J_z + J_y = const.

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.