Волновые пакеты и групповая скорость

Выше мы рассматривали только монохроматические волны, имеющие одну частоту и длину волны. Значительно более общим является случай, когда волны существуют в виде набора или группы частных гармоник. Например, белый свет имеет сплошной спектр, занимающий участок видимого диапазона примерно от 3000Å в голубой области до 7000Å в красной области. Анализ поведения таких пакетов приводит к понятию групповой скорости, упомянутому в начале главы.

Рассмотрим пакет из двух компонент с одинаковой амплитудой, но с разными частотами и , различающимися на малую величину. Их отдельные смещения описываются формулами

. (7.24)

Складывая Ψ₁ и Ψ₂, получаем выражение

, (7.25)

описывающее волну с частотой , которая очень близка к частоте любой из двух компонент. Амплитуда волны, имеющая максимальное значение 2a, модулирована в пространстве и времени очень медленно меняющейся огибающей с частотой и с волновым числом . Поведение такой волны представлено на рис. 7.5. Скорость новой волны равна

, (7.26)

где через u обозначена фазовая скорость: . Следовательно, частотные гармоники и их сумма, т. е. пакет, будут распространяться с одинаковой скоростью, причем профиль пакета, изображенного на рис. 7.5, не изменяется.

Рис. 7.5.

Теперь предположим, что две гармоники, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют разные фазовые скорости и . Скорость максимума амплитуды пакета, т. е. групповая скорость,

(7.27)

теперь отлична от каждой из этих скоростей. Вид суперпозиции двух волн уже не будет сохраняться неизменным, и профиль пакета будет изменяться со временем.

Среда, в которой фазовая скорость зависит от частоты (отношение w/k не является постоянным), называется диспергирующей средой. Зависимость wот k выражается дисперсионной формулой. Если пакет состоит из гармоник с почти одинаковыми частотами, то исходное выражение для групповой скорости записывается следующим образом:

. (7.28)

Групповая скорость есть скорость максимальной амплитуды пакета, а потому эта скорость, с которой переносится энергия пакета.

Поскольку w=ku, где u - фазовая скорость, групповая скорость равна

, (7.29)

где .

Обычно производная положительна, так что u< u. Это случай нормальной дисперсии. Но возможна аномальная дисперсия – когда производная отрицательна и u >u. В фиксированный момент времени волновой пакет дает волновую картину, показанную на рис. 7.6.

Рис. 7.6.

При рассмотрении электромагнитных волн мы увидим, что для таких волн электрический проводник обладает аномальной дисперсией, а диэлектрик – нормальной дисперсией всюду, кроме небольших областей около собственных резонансных частот атомов, образующих диэлектрик.

 

Контрольные вопросы

1. Возможно ли образование сходящейся сферической волны?

2. Что понимается под уравнением волны и волновым уравнением?

3. Каковы должны быть свойства среды, чтобы для механических волн в этой среде выполнялся принцип суперпозиции?

4. Каков физический смысл групповой скорости?

5. От чего зависит фазовая скорость волн в упругой среде?

Задачи

1. При отражении от преграды в образующихся стоячих волнах отношение амплитуды в пучности к амплитуде в узле равно d. Какая часть энергии уходит за преграду?

2. Волна распространяется в среде с затуханием. На графике по оси абсцисс отложено расстояние от источника колебаний, причем это расстояние выражено в длинах волн. По оси ординат отложен десятичный логарифм амплитуды. Написать на основании этого графика формулу, представляющую зависимость амплитуды от расстояния.

3. Самолет летит над землёй на высоте h со сверхзвуковой скоростью. На каком наименьшем расстоянии a (по горизонтали) от стоящего на земле наблюдателя должна находится такая точка, из которой звук самолёта доходит до наблюдателя раньше, чем из точки A над его головой?

4. Складываются два одинаково направленных колебания: , . Сравнить амплитуду А с амплитудой результирующего колебания.