Системы координат на эллипсоиде

 

Широта – это угол между нормалью в т. А и плоскостью экватора; долгота – двугранный угол между плоскостями начального меридиана и меридиана т. А.

 

4.2.1. Географическая (геодезическая) и геоцентрическая СК

 

Из бесчисленного мн-ва параметрических линий, к-рые можно установить на пов-ти эл-да, выберем семейство географических параллелей и меридианов, составляющих географическую систему координат:

В произв. точке А (φ, λ) эл-да проведём нормаль АО’ к этой пов-ти, ч/з к-рую м. провести бесчисленное множество нормальных сечений. Из них выберем два главных: сечение, совпадающее с плоскостью меридиана PAP’, называемое меридиональным, и сечение, ортогональное первому в т. А, называемое сечением первого вертикала.

Радиусы кривизны этих нормальных сечений будут равны:

;

; (*)

где е – первый эксцентриситет, a, b – полуоси эл-да.

Рассмотрим пространственную геоцентрическую СК OХ_гY_гZ_г, в к-рой начало совмещено с центром эл-да, ось Z_г направлена на северный полюс Земли, ось Х_г – в т. пересечения Гринвичского меридиана с экватором, ось Y_г – на восток.

Тогда связь геоцентрической и географической СК м.б. записана в виде:

,

,

.

 

4.2.2. Топоцентрическая (горизонтная) и полярная сфероидическая (сферическая) СК

 

Топоц. гориз. СК наз. система, в к-рой начало совмещено с произвольной точкой пространства Q (φ₀, λ₀, H₀), ось X лежит в плоскости меридиана точки Q и направлена на северный полюс, ось Z совпадает с нормалью O’Q₀ к пов-ти эл-да в т. Q, ось Y – дополняет систему до левой.

Топоцентрические координаты, три величины, определяющие пространственное положение наблюдаемой точки или др. объекта (спутника, самолёта и т.п.) в системе координат, начало которой совпадает с пунктом наблюдения на земной поверхности (топоцентром). Употребляются в астрономии, астрометрии, геодезии и спутниковой геодезии при обработке результатов наблюдений. В зависимости от выбора основной координатной плоскости различаются экваториальные, горизонтальные и орбитальные топоцент. коорд.

Для установления связи этой системы Q₀XYZ и геоцентрической СК OХ_гY_гZ_г перенесём параллельно каждую из них в т. O’. Тогда формулы связи топоцентрической и географической систем координат принимают вид:

;

;

;

где h – превышения точек (при отображении пов-ти Земли все h=0), φ, λ – координаты текущей точки; φ₀, λ₀ – координаты полюса в топоцентрической СК.

Теперь введём сфероидическую полярную СК z=const, a=const, где а – углы между нормальными плоскостями в точке полюса Q, z – углы между нормалью O’Q₀ и направлениями в точке О’ на текущие точки С_i, лежащие в соответствующих нормальных плоскостях. Обозначим CO’=N₀’ и из рисунка следует:

X = N₀’sinzcosa

Y = N₀’sinzsina

Z = N₀’cosz – N₀

– формулы связи топоцентрической и сфероидической СК.

Если в т. С провести нормаль СО'' к эллипсоиду, к-рая пересечётся с осью вращения эл-да в точке O'', то образуется треугольник O'O''C. Учитывая широту данной точки, значения сторон O'C = N'₀, O''C = N, O'O'' = e²(Nsinφ – N₀sinφ₀), получим в результате преобразований формулы связи географической и полярных сфероидических координат: