Задачи к 1.2

1. Девять запечатанных пакетов с предложениями цены на аренду участков для бурения нефтяных скважин поступили утром в специальное агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очерёдности вскрытия конвертов с предложениями цены?

2. Комитет рассматривает кандидатуры шести человек, подавших заявления о приёме на работу. Все шестеро имеют одинаковые профессиональные характеристики. На интервью из шестерых будет приглашено только трое. Порядок приглашения каждого имеет значение, так как первый кандидат будет иметь лучший шанс быть приглашённым на работу; второй будет приглашён, если первому будет отказано, третий будет приглашён, если два предыдущих кандидата получат отказ. Сколько всего существует способов приглашения трёх кандидатов из шести при таком способе отбора?

3. Компания имеет четыре отдела: по производству продукции, отдел снабжения, занимающийся обеспечением сырья, а также отделы менеджмента и маркетинга. Количество людей в каждом из отделов 55, 30, 21 и 13 соответственно. Каждый отдел собирается послать одного представителя на ежегодную встречу с директором компании. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?

4. Директор корпорации рассматривает заявления о приёме на работу 10 выпускников университета. На одном из предприятий корпорации имеются три различных вакансии. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?

5. Пять фирм F₁, F₂, F₃, F₄, F₅ предлагают свои услуги по выполнению трёх различных контрактов С₁, С₂ и С₃. Любая фирма может получить только один контракт. Контракты различны, т. е., если контакт С₁ получит фирма F₁ , то это не тоже самое, если фирма F₁ получит контракт С₂. а) Сколько способов получения контрактов имеют фирмы? б) Если предположить равновозможность заключения контрактов, чему равна вероятность того, что фирма F₃ получит контракт?

6. Авиакомпания имеет 6 рейсов между Новосибирском и Москвой, а так же 2 рейса между Москвой и Барселоной. Сколькими способами можно заказать билет из Новосибирска до Барселоны, если рейсы осуществляются в разные дни?

7. Собрание, на котором присутствует 20 человек, избирает двух делегатов на две конференции. Каким числом способов это можно сделать?

Сколькими способами можно отобрать двух кандидатов на одну конференцию?

8. Президент компании всегда приглашает одного из трёх вице-президентов присутствовать на наиболее важных бизнес-встречах и утверждает, что это выбор (кого-либо из троих) случаен. Однако один из вице-президентов не был уже на пяти последних встречах. Чему равна вероятность этого события, если выбор президента действительно случаен? Каков будет ваш вывод.

9. Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнения потребителей по определённому типу продуктов. Известно что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителей интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает десять человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?

10. В номерах пятизвёздочного отеля установлена система электронных дверных замков. Для того чтобы открыть замок, клиент должен вставить электронную карточку в специальное отверстие. Загорающийся зелёный свет свидетельствует о том, что Вы можете повернуть ручку двери и войти; жёлтый свет – сигнал того, что дверь заперта изнутри и Вы не можете войти. Персонал отеля по опыту знает следующее: когда дверь закрыта (не заперта изнутри), а клиент вставляет в отверстие электронную карточку, то одна из каждых 30 попыток даёт в результате жёлтый свет и дверь не открывается. Предположим, что каждая из попыток отпереть дверь независима от предыдущей. Чему равна вероятность того, что загорится жёлтый свет при каждой из трёх последовательных попыток отворить дверь (когда дверь не заперта изнутри)?

11. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчёта числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идёт перед другим, то первый из них будет учтён электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей.

12. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных сбербанков окажется в черте города: а) три; б) хотя бы один?

13. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку.

14. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?

15. Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий. Найти вероятность следующих событий: а) в выборке не будет ни одного бракованного изделия;

б) в выборке будет одно бракованное изделие?

16. Два лица условились встретиться в определённом месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждёт другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

17. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность события А = {точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее d}.

18. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвёртого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?

19. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В – 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что а) среди продукции, не обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.

20. В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а 10 – на заводе В. Случайным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что две из них изготовлены на заводе А.